El teorema de unicidad de la ecuación de Poisson establece que, para una gran clase de condiciones de contorno , la ecuación puede tener muchas soluciones, pero el gradiente de cada solución es el mismo. En el caso de la electrostática , esto significa que existe un campo eléctrico único derivado de una función potencial que satisface la ecuación de Poisson en las condiciones de contorno.
Prueba
La expresión general de la ecuación de Poisson en electrostática es
dónde es el potencial eléctrico yes la distribución de carga en alguna región con superficie límite .
La singularidad de la solución se puede probar para una gran clase de condiciones de contorno de la siguiente manera.
Suponga que afirmamos tener dos soluciones de la ecuación de Poisson. Llamemos a estas dos soluciones y . Luego
- , y
- .
Resulta que es una solución de la ecuación de Laplace , que es un caso especial de la ecuación de Poisson que equivale a. Restando las dos soluciones anteriores se obtiene
Aplicando la identidad diferencial vectorial sabemos que
Sin embargo, desde también sabemos que en toda la región En consecuencia, el segundo término va a cero y encontramos que
Tomando la integral de volumen sobre la región , encontramos eso
Al aplicar el teorema de la divergencia , reescribimos la expresión anterior como
Ahora consideramos secuencialmente tres condiciones de frontera distintas: una condición de frontera de Dirichlet, una condición de frontera de Neumann y una condición de frontera mixta.
Primero, consideramos el caso donde las condiciones de contorno de Dirichlet se especifican comoen el límite de la región. Si la condición de límite de Dirichlet se satisface en por ambas soluciones (es decir, si en el límite), luego el lado izquierdo de es cero. En consecuencia, encontramos que
Dado que esta es la integral de volumen de una cantidad positiva (debido al término al cuadrado), debemos tener en todos los puntos. Además, debido a que el gradiente de es cero en todas partes y es cero en el límite, debe ser cero en toda la región. Finalmente, desde en toda la región, y desde en toda la región, por lo tanto en toda la región. Esto completa la prueba de que existe la solución única de la ecuación de Poisson con una condición de frontera de Dirichlet.
En segundo lugar, consideramos el caso en el que las condiciones de frontera de Neumann se especifican comoen el límite de la región. Si la condición de frontera de Neumann se satisface en por ambas soluciones, entonces el lado izquierdo de es cero de nuevo. En consecuencia, como antes, encontramos que
Como antes, dado que esta es la integral de volumen de una cantidad positiva, debemos tener en todos los puntos. Además, debido a que el gradiente de es cero en todas partes dentro del volumen , y porque el gradiente de es cero en todas partes en el límite , por lo tanto debe ser constante --- pero no necesariamente cero --- en toda la región. Finalmente, desde en toda la región, y desde en toda la región, por lo tanto en toda la región. Esto completa la prueba de que existe una solución única hasta una constante aditiva de la ecuación de Poisson con una condición de frontera de Neumann.
Condiciones de contorno mixtas se podría dar, siempre y cuando sea el gradiente o el potencial se especifica en cada punto de la frontera. Las condiciones de contorno en el infinito también se mantienen. Esto resulta del hecho de que la integral de superficie en aún desaparece a grandes distancias porque el integrando decae más rápido de lo que crece el área de la superficie.
Ver también
Referencias
- LD Landau, EM Lifshitz (1975). La teoría clásica de los campos . Vol. 2 (4ª ed.). Butterworth – Heinemann . ISBN 978-0-7506-2768-9.
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tiene texto extra ( ayuda ) - JD Jackson (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-30932-1.