El método de líneas (MOL, NMOL, NUMOL [1] [2] [3] ) es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE) en la que todas las dimensiones menos una están discretizadas. Al reducir un PDE a una sola dimensión continua, el método de líneas permite calcular soluciones a través de métodos y software desarrollados para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) y sistemas de ecuaciones algebraicas diferenciales (DAE). Muchas rutinas de integración se han desarrollado a lo largo de los años en muchos lenguajes de programación diferentes y algunas se han publicado como recursos de código abierto . [4]
El método de líneas se refiere más a menudo a la construcción o análisis de métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales que procede primero discretizando las derivadas espaciales solamente y dejando la variable de tiempo continua. Esto conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias al que se puede aplicar un método numérico para ecuaciones ordinarias de valor inicial. El método de las líneas en este contexto se remonta al menos a principios de la década de 1960. [5] Desde entonces han aparecido muchos artículos que discuten la precisión y estabilidad del método de líneas para varios tipos de ecuaciones diferenciales parciales. [6] [7]
Aplicación a ecuaciones elípticas
MOL requiere que el problema de PDE esté bien planteado como un problema de valor inicial ( Cauchy ) en al menos una dimensión, porque los integradores de ODE y DAE son solucionadores de problemas de valor inicial (IVP). Por tanto, no se puede utilizar directamente en ecuaciones diferenciales parciales puramente elípticas , como la ecuación de Laplace . Sin embargo, MOL se ha utilizado para resolver la ecuación de Laplace utilizando el método de falsos transitorios . [1] [8] En este método, se agrega una derivada en el tiempo de la variable dependiente a la ecuación de Laplace. Luego se utilizan diferencias finitas para aproximar las derivadas espaciales, y el sistema de ecuaciones resultante se resuelve mediante MOL. También es posible resolver problemas elípticos mediante un método semi-analítico de líneas . [9] En este método, el proceso de discretización da como resultado un conjunto de EDO que se resuelven explotando las propiedades de la matriz exponencial asociada.
Recientemente, para superar los problemas de estabilidad asociados con el método de falsos transitorios, se propuso un enfoque de perturbación que resultó ser más robusto que el método estándar de falsos transitorios para una amplia gama de PDE elípticas. [10]
Referencias
- ↑ a b Schiesser, WE (1991). El método numérico de líneas . Prensa académica. ISBN 0-12-624130-9.
- ^ Hamdi, S .; WE Schiesser; GW Griffiths (2007), "Método de líneas", Scholarpedia , 2 (7): 2859, doi : 10.4249 / scholarpedia.2859
- ^ Schiesser, WE; GW Griffiths (2009). Un compendio de modelos de ecuaciones diferenciales parciales: método de análisis de líneas con Matlab . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-51986-1.
- ^ Lee, HJ; WE Schiesser (2004). Rutinas de ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias en C, C ++, Fortran, Java, Maple y Matlab . Prensa CRC. ISBN 1-58488-423-1.
- ^ EN Sarmin; LA Chudov (1963), "Sobre la estabilidad de la integración numérica de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias que surgen en el uso del método de línea recta", URSS Computational Mathematics and Mathematical Physics , 3 (6): 1537-1543, doi : 10.1016 / 0041-5553 (63) 90256-8
- ^ A. Zafarullah (1970), "Aplicación del método de líneas a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas con estimaciones de error", Journal of the Association for Computing Machinery , 17 (2), págs. 294-302, doi : 10.1145 / 321574.321583
- ^ JG Verwer; JM Sanz-Serna (1984), "Convergencia de aproximaciones del método de líneas a ecuaciones diferenciales parciales" , Computación , 33 (3–4): 297–313, doi : 10.1007 / bf02242274
- ^ Schiesser, WE (1994). Matemáticas computacionales en Ingeniería y Ciencias Aplicadas: ODE, DAE y PDE . Prensa CRC. ISBN 0-8493-7373-5.
- ^ Subramanian, VR; RE White (2004), "Método semianalítico de líneas para resolver ecuaciones diferenciales parciales elípticas", Ciencias de la Ingeniería Química , 59 (4): 781–788, doi : 10.1016 / j.ces.2003.10.019
- ^ PWC Northrop; PA Ramachandran; WE Schiesser; VR Subramanian (2013), "Un método robusto de falsos transitorios de líneas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas", Chem. Ing. Sci. , 90 , págs. 32–39, doi : 10.1016 / j.ces.2012.11.033
enlaces externos
- Método de líneas transitorias falsas: código de muestra
- El método numérico de líneas