En matemáticas , el teorema de Midy , llamado así por el matemático francés E. Midy, [1] es un enunciado sobre la expansión decimal de las fracciones a / p donde p es un número primo y a / p tiene una expansión decimal periódica con un período par (secuencia A028416 en la OEIS ). Si el periodo de la representación decimal de a / p es 2 n , de modo que
entonces los dígitos en la segunda mitad del período decimal periódico son el complemento de 9 de los dígitos correspondientes en su primera mitad. En otras palabras,
Si k es cualquier divisor del período de la expansión decimal de a / p (donde p es nuevamente un número primo), entonces el teorema de Midy se puede generalizar de la siguiente manera. El teorema de Midy extendido [2] establece que si la parte repetitiva de la expansión decimal de a / p se divide en números de k dígitos, entonces su suma es un múltiplo de 10 k − 1.
El teorema de Midy y su extensión no dependen de propiedades especiales de la expansión decimal, pero funcionan igualmente bien en cualquier base b , siempre que reemplacemos 10 k − 1 con b k − 1 y efectuemos la suma en base b .
Se pueden dar demostraciones breves del teorema de Midy utilizando los resultados de la teoría de grupos . Sin embargo, también es posible probar el teorema de Midy usando álgebra elemental y aritmética modular :
Sea p un número primo y a / p una fracción entre 0 y 1. Supongamos que la expansión de a / p en base b tiene un período de ℓ , entonces