En matemáticas , el teorema de Minkowski-Hlawka es un resultado del empaquetamiento reticular de hiperesferas en dimensión n > 1. Establece que existe un reticulado en el espacio euclidiano de dimensión n , de modo que el mejor empaquetamiento correspondiente de hiperesferas con centros en el retículo puntos tiene densidad Δ satisfactoria
con ζ la función zeta de Riemann . Aquí como n → ∞, ζ ( n ) → 1. Sin embargo, la demostración de este teorema es indirecta y no da un ejemplo explícito, y todavía no existe una forma simple y explícita conocida de construir retículas con densidades de empaquetamiento que excedan este límite para arbitrario n . En principio, se pueden encontrar ejemplos explícitos: por ejemplo, incluso seleccionar algunas celosías "aleatorias" funcionará con alta probabilidad. El problema es que probar estas celosías para ver si son soluciones requiere encontrar sus vectores más cortos, y el número de casos a verificar crece muy rápido con la dimensión, por lo que esto podría llevar mucho tiempo.
Este resultado fue declarado sin prueba por Hermann Minkowski ( 1911 , páginas 265-276) y probado por Edmund Hlawka ( 1943 ). El resultado está relacionado con un límite inferior lineal para la constante de Hermite .
Siegel (1945) demostró la siguiente generalización del teorema de Minkowski-Hlawka. Si S es un conjunto acotado en R n con volumen de Jordan vol ( S ), entonces el número promedio de vectores de celosía distintos de cero en S es vol ( S ) / D , donde el promedio se toma sobre todas las celosías con un dominio fundamental de volumen D , y de manera similar, el número promedio de vectores reticulares primitivos en S es vol ( S ) / D ζ ( n ).
El teorema de Minkowski-Hlawka se deduce fácilmente de esto, usando el hecho de que si S es un cuerpo centralmente simétrico en forma de estrella (como una bola) que contiene menos de 2 vectores reticulares primitivos, entonces no contiene vectores reticulares distintos de cero.