Embalaje de esfera
En geometría , un empaquetamiento de esferas es una disposición de esferas que no se superponen dentro de un espacio contenedor. Las esferas consideradas suelen ser todas de idéntico tamaño, y el espacio suele ser un espacio euclidiano tridimensional . Sin embargo, los problemas de empaquetamiento de esferas se pueden generalizar para considerar esferas desiguales, espacios de otras dimensiones (donde el problema se convierte en empaquetamiento de círculos en dos dimensiones o empaquetamiento de hiperesferas en dimensiones superiores) o en espacios no euclidianos como el espacio hiperbólico .
Un problema típico de empaquetamiento de esferas es encontrar una disposición en la que las esferas llenen tanto espacio como sea posible. La proporción de espacio ocupado por las esferas se llama densidad de la disposición. Como la densidad local de un empaquetamiento en un espacio infinito puede variar según el volumen sobre el que se mide, el problema suele ser maximizar la densidad media o asintótica , medida en un volumen suficientemente grande.
Para esferas iguales en tres dimensiones, el empaque más denso usa aproximadamente el 74% del volumen. Un empaquetamiento aleatorio de esferas iguales generalmente tiene una densidad de alrededor del 64%.
Un enrejado disposición (comúnmente llamado un regular de acuerdo) es uno en el que los centros de las esferas forman un patrón muy simétrica que necesita sólo n vectores que se definan de forma única (en n - dimensional espacio euclidiano ). Los arreglos de celosía son periódicos. Los arreglos en los que las esferas no forman una red (a menudo denominados irregulares ) aún pueden ser periódicos, pero también aperiódicos (hablando con propiedad, no periódicos ) o aleatorios . Por su alto grado de simetría, los empaques de celosía son más fáciles de clasificar que los que no son de celosía. Las celosías periódicas siempre tienen densidades bien definidas.
En el espacio euclidiano tridimensional, el empaquetamiento más denso de esferas iguales se logra mediante una familia de estructuras denominadas empaquetadas.estructuras. Un método para generar tal estructura es el siguiente. Considere un avión con una disposición compacta de esferas. Llámelo A. Para tres esferas vecinas cualesquiera, se puede colocar una cuarta esfera en la parte superior del hueco entre las tres esferas inferiores. Si hacemos esto para la mitad de los agujeros en un segundo plano por encima del primero, creamos una nueva capa compacta. Hay dos opciones posibles para hacer esto, llámelas B y C. Suponga que elegimos B. Entonces la mitad de los huecos de B se encuentra sobre los centros de las bolas en A y la otra mitad se encuentra sobre los huecos de A que no estaban utilizado para B. Por lo tanto, las bolas de una tercera capa se pueden colocar directamente encima de las bolas de la primera, produciendo una capa de tipo A, o sobre los agujeros de la primera capa que no estaban ocupados por la segunda capa, produciendo un capa de tipo C.La combinación de capas de los tipos A, B y C produce varias estructuras compactas.
Dos arreglos simples dentro de la familia compacta corresponden a celosías regulares. Uno se llama empaque cúbico cerrado (o cúbico centrado en la cara , "FCC"), donde las capas se alternan en la secuencia ABCABC ... El otro se llama empaquetamiento cerrado hexagonal ("HCP"), donde las capas se alternan en la secuencia ABAB ... Pero muchas secuencias de apilamiento de capas son posibles (ABAC, ABCBA, ABCBAC, etc.) y aún generan una estructura compacta. En todos estos arreglos, cada esfera toca 12 esferas vecinas, [1] y la densidad promedio es
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