El teorema de Miquel es un resultado en geometría , llamado así por Auguste Miquel , [1] relativo a la intersección de tres círculos, cada uno dibujado a través de un vértice de un triángulo y dos puntos en sus lados adyacentes. Es uno de varios resultados sobre los círculos en la geometría euclidiana debidos a Miquel, cuyo trabajo fue publicado en la revista recién fundada de Liouville Journal de mathématiques pures et appliquées .
Formalmente, sea ABC un triángulo, con puntos arbitrarios A´ , B´ y C´ en los lados BC , AC y AB respectivamente (o sus extensiones ). Dibuja tres circuncírculos ( círculos de Miquel ) a los triángulos AB´C´ , A´BC´ y A´B´C . El teorema de Miquel establece que estos círculos se cruzan en un solo punto M , llamado punto de Miquel . Además, los tres ángulos MA´B , MB´C y MC´A (verde en el diagrama) son todos iguales, al igual que los tres ángulos suplementarios MA´C , MB´A y MC´B . [2] [3]
El teorema (y su corolario) se derivan de las propiedades de los cuadriláteros cíclicos . Deje que las circunferencias de A'B'C y AB'C 'se encuentren en Luego por tanto, BA'MC 'es cíclico según se desee.
Teorema de pivote
Si en el enunciado del teorema de Miquel los puntos A´ , B´ y C´ forman un triángulo (es decir, no son colineales ), entonces el teorema se denominó teorema del pivote en Forder (1960 , p. 17). [4] (En el diagrama, estos puntos están etiquetados como P , Q y R ).
Si A´ , B´ y C´ son colineales, entonces el punto Miquel está en la circunferencia de ∆ABC y, a la inversa, si el punto Miquel está en esta circunferencia, entonces A´ , B´ y C´ están en una línea. [5]
Coordenadas trilineales del punto Miquel
Si las distancias fraccionarias de A´ , B´ y C´ a lo largo de los lados BC ( a ), CA ( b ) y AB ( c ) son d a , d b y d c , respectivamente, el punto de Miquel, en coordenadas trilineales ( x : y : z ), viene dada por:
donde d ' a = 1 - d a , etc.
En el caso d a = d b = d c = ½ el punto de Miquel es el circuncentro (cos α: cos β: cos γ) .
A la inversa del teorema de Miquel
El teorema se puede invertir para decir: para tres círculos que se cruzan en M , se puede trazar una línea desde cualquier punto A en un círculo, a través de su intersección C´ con otro para dar B (en la segunda intersección). B se conecta entonces de manera similar, a través de intersección en A' de la segunda y tercera círculos, dando punto C . Los puntos C , A y el punto de intersección restante, B´ , serán entonces colineales, y el triángulo ABC siempre pasará por las intersecciones circulares A´ , B´ y C´ .
Triángulo inscrito similar
Si el triángulo inscrito XYZ es similar al triángulo de referencia ABC , entonces el punto M de concurrencia de los tres círculos es fijo para todos esos XYZ . [6] : pág. 257
Teorema del cuadrilátero de Miquel y Steiner
Las circunferencias circunscritas a los cuatro triángulos de un cuadrilátero completo se reúnen en un punto M . [7] En el diagrama anterior, estos son ∆ABF, ∆CDF, ∆ADE y ∆BCE.
Este resultado fue anunciado, en dos líneas, por Jakob Steiner en el número de 1827/1828 de los Annales de Mathématiques de Gergonne , [8] pero Miquel dio una prueba detallada. [7]
Teorema del pentágono de Miquel
Sea ABCDE un pentágono convexo. Extiende todos los lados hasta que se encuentren en cinco puntos F, G, H, I, K y dibuja los círculos circunferenciales de los cinco triángulos CFD, DGE, EHA, AIB y BKC. Luego, los segundos puntos de intersección (distintos de A, B, C, D, E), es decir, los nuevos puntos M, N, P, R y Q son concíclicos (se encuentran en un círculo). [9] Ver diagrama.
El resultado inverso se conoce como el teorema de los cinco círculos .
Teorema de los seis círculos de Miquel
Dados los puntos, A , B , C y D en un círculo, y los círculos que pasan por cada par de puntos adyacentes, las intersecciones alternas de estos cuatro círculos en W , X , Y y Z se encuentran en un círculo común. Esto se conoce como el teorema de los seis círculos . [10] También se conoce como el teorema de los cuatro círculos y, aunque generalmente se atribuye a Jakob Steiner, la única prueba publicada conocida fue dada por Miquel. [11] Wells se refiere a esto como el teorema de Miquel . [12]
Versión tridimensional del teorema de Miquel
También hay un análogo tridimensional, en el que las cuatro esferas que pasan por un punto de un tetraedro y los puntos en los bordes del tetraedro se cruzan en un punto común. [3]
Ver también
Notas
- ^ Un profesor de secundaria en la campiña francesa (Nantua) según Ostermann & Wanner 2012 , p. 94
- ↑ Miquel, Auguste (1838), "Mémoire de Géométrie" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 1 : 485–487, archivado desde el original el 13 de febrero de 2013
- ↑ a b Wells , 1991 , p. 184 - Wells se refiere al teorema de Miquel como el teorema del pivote
- ^ Coxeter y Greitzer 1967 , p. 62
- ^ Smart 1997 , p. 177
- ↑ Francisco Javier Garc ́ıa Capita ́n, "Locus of Centroids of Similar Inscriptions Triangles", Forum Geometricorum 16, 2016, 257-267. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf
- ↑ a b Ostermann y Wanner , 2012 , p. 96
- ^ Steiner, J. (1827/1828), "Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet", Annales de Mathématiques , 18 : 302–304
- ^ Ostermann y Wanner 2012 , págs. 96–97
- ^ Pedoe 1988 , p. 424
- ^ Ostermann y Wanner 2012 , p. 352
- ^ Wells 1991 , págs. 151-2
Referencias
- Coxeter, HSM; Greitzer, SL (1967), Geometry Revisited , New Mathematical Library , 19 , Washington, DC : Asociación Matemática de América , ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402
- Forder, HG (1960), Geometría , Londres: Hutchinson
- Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometría por su historia , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
- Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometría / Un curso completo , Dover, ISBN 0-486-65812-0
- Smart, James R. (1997), Geometrías modernas (5.a ed.), Brooks / Cole, ISBN 0-534-35188-3
- Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , Nueva York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Miquel" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teorema de los cinco círculos de Miquel" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teorema del pentagrama de Miquel" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teorema de pivote" . MathWorld .
- El teorema de Miquels como un caso especial de una generalización del teorema de Napoleón en Dynamic Geometry Sketches