En matemáticas, el Miracle Octad Generator , o MOG , es una herramienta matemática introducida por Rob T. Curtis [1] para manipular los grupos de Mathieu , el código binario de Golay y la red Leech .
El generador Miracle Octad es una matriz de combinaciones de 4x6 que describe cualquier punto en un espacio de 24 dimensiones. Conserva todas las simetrías y subgrupos máximos del grupo Mathieu M 24 , a saber, el grupo de mónadas, el grupo de dúadas, el grupo de tríadas, el grupo de octadas, el grupo de octern, el grupo de sextetos, el grupo de tríos y el grupo de duum. Por lo tanto, se puede utilizar para estudiar todas estas simetrías.
Otro uso del Generador Miracle Octad es verificar rápidamente las palabras clave del código binario Golay . Cada elemento del Generador Miracle Octad puede almacenar un '1' o un '0', que generalmente se muestra como un asterisco y un espacio en blanco, respectivamente. Cada columna y la fila superior tienen una propiedad conocida como conteo , que es el número de asteriscos en esa línea en particular. Uno de los criterios para que un conjunto de 24 coordenadas sea una palabra clave en el código binario de Golay es que las siete cuentas tengan la misma paridad . La otra restricción es que las puntuaciones de cada columna forman una palabra en el hexacódigo. La puntuación de una columna puede ser 0, 1, ω o ω-bar, según su contenido. La puntuación de una columna se evalúa según las siguientes reglas:
Una palabra en clave se puede derivar solo de su fila superior y puntuación, lo que demuestra que hay exactamente 4096 palabras en clave en el código binario de Golay.
John Horton Conway desarrolló una matriz de 4 × 3 conocida como MiniMOG . El MiniMOG proporciona la misma función para el grupo Mathieu M 12 y el código Golay ternario que Miracle Octad Generator para el M 24 y el código Golay binario, respectivamente. En lugar de usar un hexacódigo cuaternario, el MiniMOG usa un tetracódigo ternario.