En teoría de grupos , un tema en álgebra abstracta , los grupos de Mathieu son los cinco grupos simples esporádicos M 11 , M 12 , M 22 , M 23 y M 24 introducidos por Mathieu ( 1861 , 1873 ). Son grupos de permutación transitiva múltiple en 11, 12, 22, 23 o 24 objetos. Fueron los primeros grupos esporádicos en ser descubiertos.
A veces, la notación M 9 , M 10 , M 20 y M 21 se usa para grupos relacionados (que actúan sobre conjuntos de 9, 10, 20 y 21 puntos, respectivamente), es decir, los estabilizadores de puntos en los grupos más grandes. Si bien estos no son grupos simples esporádicos, son subgrupos de los grupos más grandes y pueden usarse para construir los más grandes. John Conway ha demostrado que también se puede extender esta secuencia hacia arriba, obteniendo el grupo de Mathieu M 13 actuando sobre 13 puntos. M 21 es simple, pero no es un grupo esporádico, siendo isomorfo a PSL (3,4).
Historia
Mathieu (1861 , p.271) introdujo el grupo M 12 como parte de una investigación de grupos de permutación transitiva múltiple, y mencionó brevemente (en la página 274) el grupo M 24 , dando su orden. En Mathieu (1873) dio más detalles, incluidos conjuntos generadores explícitos para sus grupos, pero no fue fácil ver en sus argumentos que los grupos generados no son solo grupos alternos , y durante varios años la existencia de sus grupos fue controvertida. Miller (1898) incluso publicó un artículo afirmando erróneamente que probaba que M 24 no existe, aunque poco después en ( Miller 1900 ) señaló que su prueba era incorrecta y dio una prueba de que los grupos de Mathieu son simples. Witt ( 1938a , 1938b ) finalmente eliminó las dudas sobre la existencia de estos grupos, al construirlos como sucesivas extensiones transitivas de grupos de permutación, así como grupos de automorfismos de sistemas Steiner .
Después de los grupos de Mathieu no se encontraron nuevos grupos esporádicos hasta 1965, cuando se descubrió el grupo J 1 .
Multiplicar grupos transitivos
Mathieu estaba interesado en encontrar grupos de permutación transitiva múltiple , que ahora se definirán. Para un número natural k , un grupo de permutación G que actúa sobre n puntos es k -transitivo si, dados dos conjuntos de puntos a 1 , ... a k y b 1 , ... b k con la propiedad de que todos los a i son distintos y todos los b i son distintos, hay un elemento de grupo g en G que asigna a i a b i para cada i entre 1 y k . Tal grupo se llama claramente k -transitivo si el elemento g es único (es decir, la acción sobre k -tuplas es regular , en lugar de solo transitiva).
M 24 es 5-transitivo y M 12 es bruscamente 5-transitivo, siendo los otros grupos de Mathieu (simples o no) los subgrupos correspondientes a estabilizadores de m puntos, y por lo tanto de menor transitividad ( M 23 es 4-transitivo, etc. .).
Los únicos 4 grupos transitivos son los grupos simétricos S k para k al menos 4, los grupos alternos A k para k al menos 6, y los grupos de Mathieu M 24 , M 23 , M 12 y M 11 . ( Cameron 1999 , p. 110) La prueba completa requiere la clasificación de grupos simples finitos , pero algunos casos especiales se conocen desde hace mucho más tiempo.
Es un resultado clásico de Jordan que los grupos simétricos y alternos (de grado k y k + 2 respectivamente), y M 12 y M 11 son los únicos grupos de permutación claramente k -transitivos para k al menos 4.
Ejemplos importantes de grupos transitivos múltiples son los grupos 2-transitivos y los grupos Zassenhaus . Los grupos de Zassenhaus incluyen notablemente el grupo lineal general proyectivo de una línea proyectiva sobre un campo finito, PGL (2, F q ), que es marcadamente 3-transitivo (ver relación cruzada ) en elementos.
Tabla de orden y transitividad
Grupo | Pedido | Pedido (producto) | Orden factorizado | Transitividad | Sencillo | Esporádico |
---|---|---|---|---|---|---|
M 24 | 244823040 | 3 · 16 · 20 · 21 · 22 · 23 · 24 | 2 10 · 3 3 · 5 · 7 · 11 · 23 | 5-transitivo | sí | esporádico |
M 23 | 10200960 | 3 · 16 · 20 · 21 · 22 · 23 | 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 · 23 | 4-transitivo | sí | esporádico |
M 22 | 443520 | 3 · 16 · 20 · 21 · 22 | 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 | 3-transitivo | sí | esporádico |
M 21 | 20160 | 3 · 16 · 20 · 21 | 2 6 · 3 2 · 5 · 7 | 2-transitivo | sí | ≈ PSL 3 (4) |
M 20 | 960 | 3 · 16 · 20 | 2 6 · 3 · 5 | 1-transitivo | No | ≈2 4 : A 5 |
M 12 | 95040 | 8 · 9 · 10 · 11 · 12 | 2 6 · 3 3 · 5 · 11 | bruscamente 5-transitivo | sí | esporádico |
M 11 | 7920 | 8 · 9 · 10 · 11 | 2 4 · 3 2 · 5 · 11 | bruscamente 4-transitivo | sí | esporádico |
M 10 | 720 | 8 · 9 · 10 | 2 4 · 3 2 · 5 | bruscamente 3-transitivo | casi | M 10 '≈ Alt 6 |
M 9 | 72 | 8 · 9 | 2 3 · 3 2 | bruscamente 2-transitivo | No | ≈ PSU 3 (2) |
M 8 | 8 | 8 | 2 3 | bruscamente 1-transitivo (regular) | No | ≈ Q |
Construcciones de los grupos de Mathieu
Los grupos de Mathieu se pueden construir de varias formas.
Grupos de permutación
M 12 tiene un subgrupo simple de orden 660, un subgrupo máximo. Ese subgrupo es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL 2 ( F 11 ) sobre el campo de 11 elementos . Con -1 escrito como un y el infinito como b , dos generadores estándar son (0123456789a) y (0b) (1a) (25) (37) (48) (69). Un tercer generador que da M 12 envía un elemento x de F 11 a 4 x 2 - 3 x 7 ; como una permutación que es (26a7) (3945).
Este grupo resulta no ser isomorfo a ningún miembro de las familias infinitas de grupos finitos simples y se llama esporádico. M 11 es el estabilizador de un punto en M 12 , y resulta también ser un grupo simple esporádico. M 10 , el estabilizador de dos puntos, no es esporádico, sino que es un grupo casi simple cuyo subgrupo de conmutadores es el grupo alterno A 6 . Por tanto, está relacionado con el automorfismo exterior excepcional de A 6 . El estabilizador de 3 puntos es el grupo unitario especial proyectivo PSU (3,2 2 ), que es solucionable. El estabilizador de 4 puntos es el grupo de cuaterniones .
Asimismo, M 24 tiene un subgrupo simple máximo de orden 6072 isomorfo a PSL 2 ( F 23 ). Un generador agrega 1 a cada elemento del campo (dejando el punto N en el infinito fijo), es decir (0123456789ABCDEFGHIJKLM) ( N ), y el otro es la permutación de inversión de orden , (0N) (1M) (2B) (3F) ( 4H) (59) (6J) (7D) (8K) (AG) (CL) (EI). Un tercer generador que da M 24 envía un elemento x de F 23 a 4 x 4 - 3 x 15 (que envía cuadrados perfectos a través de y cuadrados no perfectos a través de ); el cálculo muestra que como permutación esto es (2G968) (3CDI4) (7HABM) (EJLKF).
Los estabilizadores de 1 y 2 puntos, M 23 y M 22 también resultan ser grupos simples esporádicos. El estabilizador de 3 puntos es simple e isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL 3 (4).
Estas construcciones fueron citadas por Carmichael (1956 , pp. 151, 164, 263). Dixon y Mortimer (1996 , p.209) atribuyen las permutaciones a Mathieu.
Grupos de automorfismos de sistemas Steiner
Existe hasta la equivalencia un sistema Steiner W 24 único S (5,8,24) (el diseño de Witt ). El grupo M 24 es el grupo de automorfismos de este sistema Steiner; es decir, el conjunto de permutaciones que asignan cada bloque a algún otro bloque. Los subgrupos M 23 y M 22 se definen como estabilizadores de un solo punto y dos puntos respectivamente.
De manera similar, existe hasta la equivalencia un sistema Steiner S (5,6,12) único W 12 , y el grupo M 12 es su grupo de automorfismo. El subgrupo M 11 es el estabilizador de un punto.
W 12 se puede construir a partir de la geometría afín en el espacio vectorial F 3 × F 3 , un sistema S (2,3,9).
Una construcción alternativa de W 12 es el 'Gatito' de Curtis (1984) .
En el libro de Conway y Sloane se puede encontrar una introducción a la construcción de W 24 a través del Miracle Octad Generator de RT Curtis y el análogo de Conway para W 12 , el miniMOG .
Grupos de automorfismo en el código Golay
El grupo M 24 es el grupo de automorfismo de permutación del código golay binario extendido W , es decir, el grupo de permutaciones en las 24 coordenadas que mapean W a sí mismo. Todos los grupos de Mathieu se pueden construir como grupos de permutaciones en el código binario de Golay.
M 12 tiene índice 2 en su grupo de automorfismos, y M 12 : 2 resulta ser isomorfo a un subgrupo de M 24 . M 12 es el estabilizador de un dodecad , una palabra clave de 12 1; M 12 : 2 estabiliza una partición en 2 dodecadas complementarias.
Existe una conexión natural entre los grupos Mathieu y los grupos Conway más grandes , porque la celosía Leech se construyó sobre el código binario de Golay y, de hecho, ambos se encuentran en espacios de dimensión 24. Los grupos Conway, a su vez, se encuentran en el grupo Monster . Robert Griess se refiere a los 20 grupos esporádicos que se encuentran en el Monstruo como la Familia Feliz , y a los grupos de Mathieu como la primera generación .
Dessins d'enfants
Los grupos de Mathieu pueden construirse a través de dessins d'enfants , con la dessin asociada a M 12 sugerente llamada "Monsieur Mathieu" por le Bruyn (2007) .
Referencias
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enlaces externos
- ATLAS: Grupo Mathieu M 10
- ATLAS: Grupo Mathieu M 11
- ATLAS: Grupo Mathieu M 12
- ATLAS: Grupo Mathieu M 20
- ATLAS: Grupo Mathieu M 21
- ATLAS: Grupo Mathieu M 22
- ATLAS: Grupo Mathieu M 23
- ATLAS: Grupo Mathieu M 24
- le Bruyn, Lieven (2007), Monsieur Mathieu , archivado desde el original el 1 de mayo de 2010
- Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M 24 , consultado el 15 de abril de 2010CS1 maint: ref duplica el valor predeterminado ( enlace )
- Mathieu grupo M 9 en GroupNames
- Scientific American Un conjunto de rompecabezas basados en las matemáticas de los grupos de Mathieu.
- M12 esporádico Una aplicación para iPhone que implementa acertijos basados en M 12 , presentados como una permutación de "giro" y una permutación de "intercambio" seleccionable