La desorientación es la diferencia en la orientación cristalográfica entre dos cristalitos en un material policristalino.
En materiales cristalinos, la orientación de un cristalito se define mediante una transformación de un marco de referencia de muestra (es decir, definido por la dirección de un proceso de laminación o extrusión y dos direcciones ortogonales) al marco de referencia local de la red cristalina, según lo definido por el base de la celda unitaria . De la misma manera, la desorientación es la transformación necesaria para pasar de un marco de cristal local a otro marco de cristal. Es decir, es la distancia en el espacio de orientación entre dos orientaciones distintas. Si las orientaciones se especifican en términos de matrices de cosenos de dirección g A y g B , entonces el operador de desorientación ∆g AB que va de A a B se puede definir de la siguiente manera:
donde el término g A −1 es la operación inversa de g A , es decir, la transformación del marco de cristal A de nuevo al marco de muestra. Esto proporciona una descripción alternativa de la desorientación como la operación sucesiva de transformación del primer marco de cristal (A) de nuevo al marco de muestra y, posteriormente, al nuevo marco de cristal (B).
Varios métodos se pueden utilizar para representar esta operación de transformación, tales como: ángulos de Euler , vectores Rodrigues, eje / ángulo (donde el eje se especifica como una dirección cristalográfica), o cuaterniones unitarios .
Simetría y desorientación
El efecto de la simetría cristalina en las desorientaciones es reducir la fracción del espacio de orientación completo necesaria para representar de forma única todas las posibles relaciones de desorientación. Por ejemplo, los cristales cúbicos (es decir, FCC) tienen 24 orientaciones simétricamente relacionadas. Cada una de estas orientaciones es físicamente indistinguible, aunque matemáticamente distinta. Por lo tanto, el tamaño del espacio de orientación se reduce en un factor de 24. Esto define la zona fundamental (FZ) para las simetrías cúbicas. Para la desorientación entre dos cristalitos cúbicos, cada uno posee sus 24 simetrías inherentes. Además, existe una simetría de conmutación, definida por:
que reconoce la invariancia de la desorientación hacia la dirección; A → B o B → A. La fracción del espacio de orientación total en la zona fundamental cúbico-cúbico para la desorientación viene dada por:
o 1/48 del volumen de la zona fundamental cúbica. Esto también tiene el efecto de limitar el ángulo de desorientación único máximo a 62.8 ° La
desorientación describe la desorientación con el ángulo de rotación más pequeño posible de todas las desorientaciones simétricamente equivalentes que caen dentro de la FZ (generalmente especificado como tener un eje en el triángulo estereográfico estándar para cúbicos ). El cálculo de estas variantes implica la aplicación de operadores de simetría de cristal a cada una de las orientaciones durante el cálculo de la desorientación.
donde O crys denota uno de los operadores de simetría del material.
Distribución de la desorientación
La distribución de desorientación (MD) es análoga a la ODF utilizada para caracterizar la textura. El MD describe la probabilidad de la desorientación entre dos granos cualesquiera que caigan en un rango en torno a una determinada desorientación . Si bien es similar a una densidad de probabilidad, el MD no es matemáticamente el mismo debido a la normalización. La intensidad en un MD se da como "múltiplos de densidad aleatoria" (MRD) con respecto a la distribución esperada en un material con desorientaciones distribuidas uniformemente. El MD se puede calcular mediante la expansión de la serie, normalmente utilizando armónicos esféricos generalizados , o mediante un esquema de agrupamiento discreto, donde cada punto de datos se asigna a un agrupamiento y se acumula.
Representación grafica
Las desorientaciones discretas o la distribución de desorientación se pueden describir completamente como gráficos en el ángulo de Euler, el eje / ángulo o el espacio vectorial de Rodrigues. Los cuaterniones unitarios, aunque son convenientes desde el punto de vista computacional, no se prestan a la representación gráfica debido a su naturaleza tetradimensional. Para cualquiera de las representaciones, las parcelas generalmente se construyen como secciones a través de la zona fundamental; a lo largo de φ 2 en ángulos de Euler, en incrementos de ángulo de rotación para eje / ángulo, y en constante ρ 3 (paralelo a <001>) para Rodrigues. Debido a la forma irregular de la FZ cúbico-cúbica, las parcelas se dan típicamente como secciones a través de la FZ cúbica con los límites más restrictivos superpuestos.
Los diagramas de Mackenzie son una representación unidimensional del MD que traza la frecuencia relativa del ángulo de desorientación, independientemente del eje. Mackenzie determinó la distribución de desorientación para una muestra cúbica con una textura aleatoria.
Ejemplo de cálculo de desorientación
El siguiente es un ejemplo del algoritmo para determinar la representación del eje / ángulo de la desorientación entre dos componentes de textura dados como ángulos de Euler:
- Cobre [90,35,45]
- S3 [59,37,63]
El primer paso es convertir la representación del ángulo de Euler en una matriz de orientación g mediante:
donde c y s representan coseno y de seno , respectivamente. Esto produce las siguientes matrices de orientación:
La desorientación es entonces:
La descripción del eje / ángulo (con el eje como un vector unitario) está relacionada con la matriz de desorientación por:
(Hay errores en las fórmulas similares para los componentes de 'r' dados en el libro de Randle y Engler (ver refs.), Que serán corregidos en la próxima edición de su libro. Las anteriores son las versiones correctas, nota a se debe usar una forma diferente para estas ecuaciones si Theta = 180 grados).
Para la desorientación de cobre-S 3 dada por Δg AB , la descripción del eje / ángulo es 19,5 ° aproximadamente [0,689,0,623,0,369], que es sólo 2,3 ° de <221>. Este resultado es solo una de las 1152 posibilidades simétricamente relacionadas, pero especifica la desorientación. Esto se puede verificar considerando todas las posibles combinaciones de simetría de orientación (incluida la simetría de conmutación).
Referencias
- Kocks, UF, CN Tomé y H.-R. Wenk (1998). Textura y anisotropía: orientaciones preferidas en policristales y su efecto en las propiedades de los materiales , Cambridge University Press.
- Mackenzie, JK (1958). Segundo artículo sobre las estadísticas asociadas con la desorientación aleatoria de cubos , Biometrika 45 , 229.
- Randle, Valerie y Olaf Engler (2000). Introducción al análisis de texturas: macrotextura, microtextura y mapeo de orientación , CRC Press.
- Reed-Hill, Robert E. y Reza Abbaschian (1994). Principios de la metalurgia física (tercera edición) , PWS.
- Sutton, AP y RW Balluffi (1995). Interfaces en materiales cristalinos , Clarendon Press.
- G. Zhu, W. Mao y Y. Yu (1997). "Cálculo de distribución de desorientación entre granos recristalizados y matriz deformada", Scripta mater. 42 (2000) 37-41.