Las distribuciones de Mittag-Leffler son dos familias de distribuciones de probabilidad en la media línea. Están parametrizados por un real o . Ambos se definen con la función Mittag-Leffler , que lleva el nombre de Gösta Mittag-Leffler . [1]
La función Mittag-Leffler
Para cualquier complejo cuya parte real es positiva, la serie
define una función completa. Para, la serie converge sólo en un disco de radio uno, pero puede extenderse analíticamente a .
Primera familia de distribuciones de Mittag-Leffler
La primera familia de distribuciones de Mittag-Leffler se define por una relación entre la función de Mittag-Leffler y sus funciones de distribución acumulativa .
Para todos , la función está aumentando en la línea real, converge a en , y . Por lo tanto, la funciónes la función de distribución acumulativa de una medida de probabilidad sobre los números reales no negativos. La distribución así definida, y cualquiera de sus múltiplos, se denomina distribución de orden de Mittag-Leffler..
Todas estas distribuciones de probabilidad son absolutamente continuas . Desde es la función exponencial, la distribución de orden de Mittag-Leffler es una distribución exponencial . Sin embargo, para, las distribuciones de Mittag-Leffler son de cola pesada . Su transformada de Laplace viene dada por:
lo que implica que, por , la expectativa es infinita. Además, estas distribuciones son distribuciones geométricas estables . Los procedimientos de estimación de parámetros se pueden encontrar aquí. [2] [3]
Segunda familia de distribuciones de Mittag-Leffler
La segunda familia de distribuciones de Mittag-Leffler se define por una relación entre la función de Mittag-Leffler y sus funciones generadoras de momento .
Para todos , una variable aleatoria se dice que sigue una distribución de orden de Mittag-Leffler si, por alguna constante ,
donde la convergencia representa a todos en el plano complejo si , y todo en un disco de radio Si .
Una distribución de pedido de Mittag-Leffler es una distribución exponencial. Una distribución de pedido de Mittag-Leffleres la distribución del valor absoluto de una variable aleatoria de distribución normal . Una distribución de pedido de Mittag-Leffleres una distribución degenerada . A diferencia de la primera familia de distribución de Mittag-Leffler, estas distribuciones no son complicadas.
Estas distribuciones se encuentran comúnmente en relación con la hora local de los procesos de Markov.
Referencias
- ^ HJ Haubold AM Mathai (2009). Actas del Tercer Taller ONU / ESA / NASA sobre el Año Heliofísico Internacional 2007 y Ciencias Espaciales Básicas: Observatorio Astronómico Nacional de Japón . Actas de astrofísica y ciencia espacial. Saltador. pag. 79. ISBN 978-3-642-03325-4.
- ^ DO Cahoy VV Uhaikin WA Woyczyński (2010). "Estimación de parámetros para procesos fraccionales de Poisson". Revista de Planificación e Inferencia Estadística . 140 (11): 3106–3120. arXiv : 1806.02774 . doi : 10.1016 / j.jspi.2010.04.016 .
- ^ DO Cahoy (2013). "Estimación de los parámetros de Mittag-Leffler". Comunicaciones en Estadística - Simulación y Computación . 42 (2): 303–315. arXiv : 1806.02792 . doi : 10.1080 / 03610918.2011.640094 .