En matemáticas , la función de Mittag-Leffler E α , β es una función especial , una función compleja que depende de dos parámetros complejos α y β . Puede definirse mediante la siguiente serie cuando la parte real de α es estrictamente positiva: [1] [2]
dónde es la función gamma . Cuándo, se abrevia como . Para, la serie anterior es igual a la expansión de Taylor de la serie geométrica y, en consecuencia, .
En el caso de que α y β sean reales y positivas, la serie converge para todos los valores del argumento z , por lo que la función de Mittag-Leffler es una función completa . Esta función lleva el nombre de Gösta Mittag-Leffler . Esta clase de funciones son importantes en la teoría del cálculo fraccionario .
Para α > 0, la función de Mittag-Leffleres una función completa de orden 1 / α , y en cierto sentido es la función completa más simple de su orden.
La función de Mittag-Leffler satisface la propiedad de recurrencia (Teorema 5.1 de [1] )
de donde la expansión asintótica de Poincaré
sigue, que es cierto para .
Casos especiales
Para encontramos: (Sección 2 de [1] )
La suma de una progresión geométrica :
Para , tenemos
Para , la integral
da, respectivamente: , , .
Representación integral de Mittag-Leffler
La representación integral de la función de Mittag-Leffler es (Sección 6 de [1] )
donde el contorno C comienza y termina en −∞ y gira alrededor de las singularidades y los puntos de ramificación del integrando.
Relacionada con la transformada de Laplace y la suma de Mittag-Leffler está la expresión (Ec. (7.5) de, [1] con m = 0)
Aplicaciones de la función Mittag-Leffler
Una de las aplicaciones de la función Mittag-Leffler es el modelado de materiales viscoelásticos de orden fraccional. Las investigaciones experimentales sobre el comportamiento de relajación dependiente del tiempo de los materiales viscoelásticos se caracterizan por una disminución muy rápida de la tensión al comienzo del proceso de relajación y un decaimiento extremadamente lento durante tiempos prolongados. Incluso puede pasar mucho tiempo antes de que se alcance un valor asintótico constante. Por lo tanto, se requieren muchos elementos de Maxwell para describir el comportamiento de relajación con suficiente precisión. Esto termina en un difícil problema de optimización para identificar un gran número de parámetros de material. Por otro lado, a lo largo de los años, el concepto de derivadas fraccionarias se ha introducido en la teoría de la viscoelasticidad. Entre estos modelos, se encontró que el modelo Zener fraccional era muy efectivo para predecir la naturaleza dinámica de materiales similares al caucho con solo una pequeña cantidad de parámetros de material. La solución de la ecuación constitutiva correspondiente conduce a una función de relajación del tipo de Mittag-Leffler. Está definido por la serie de potencias con argumentos negativos. Esta función representa todas las propiedades esenciales del proceso de relajación bajo la influencia de una señal arbitraria y continua con un salto en el origen. [3] [4]
Ver también
Notas
- Paquete R 'MittagLeffleR' de Gurtek Gill, Peter Straka. Implementa la función, distribución, generación de variables aleatorias y estimación de Mittag-Leffler.
Referencias
- ^ a b c d e Saxena, RK; Mathai, AM; Haubold, HJ (1 de septiembre de 2009). "Funciones de Mittag-Leffler y sus aplicaciones". arXiv : 0909.0230v2 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Weisstein, Eric W. "Función Mittag-Leffler" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 11 de septiembre de 2019 .
- ^ Pritz, T. (2003). Modelo derivado fraccional de cinco parámetros para materiales de amortiguación poliméricos. Revista de sonido y vibración, 265 (5), 935-952.
- ^ Nonnenmacher, TF y Glöckle, WG (1991). Un modelo fraccional para la relajación de tensiones mecánicas. Cartas de revistas filosóficas, 64 (2), 89-93.
- Mittag-Leffler, MG: Sur la nouvelle función E (x). CR Acad. Sci. París 137, 554–558 (1903)
- Mittag-Leffler, MG: Sopra la funzione E˛.x /. Desgarrar. R. Acc. Lincei, (Ser. 5) 13, 3-5 (1904)
- Gorenflo R., Kilbas AA, Mainardi F., Rogosin SV, Funciones de Mittag-Leffler, temas y aplicaciones relacionados (Springer, Nueva York, 2014) 443 páginas ISBN 978-3-662-43929-6
- Igor Podlubny (1998). "Capítulo 1". Ecuaciones diferenciales fraccionales. Introducción a las derivadas fraccionarias, ecuaciones diferenciales fraccionales, algunos métodos de su solución y algunas de sus aplicaciones . Matemáticas en Ciencias e Ingeniería. Prensa académica. ISBN 0-12-558840-2.
- Kai Diethelm (2010). "Capítulo 4". El análisis de ecuaciones diferenciales fraccionarias: una exposición orientada a la aplicación utilizando operadores diferenciales de tipo Caputo . Apuntes de clase en matemáticas. Heidelberg y Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-14573-5.
enlaces externos
- Manual de matemáticas de funciones de Mittag-Leffler mathHandbook.com
- Función Mittag-Leffler: código MATLAB
- Mittag-Leffler y números aleatorios estables: paseos aleatorios en tiempo continuo y solución estocástica de ecuaciones de difusión fraccional de espacio-tiempo
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