Una distribución estable geométrica o distribución geoestable es un tipo de distribución de probabilidad leptocúrtica . Las distribuciones geométricas estables se introdujeron en Klebanov, LB, Maniya, GM y Melamed, IA (1985). Un problema de Zolotarev y análogos de distribuciones infinitamente divisibles y estables en un esquema para sumar un número aleatorio de variables aleatorias. [1] Estas distribuciones son análogas a las distribuciones estables para el caso en que el número de sumandos es aleatorio, independiente de la distribución de sumandos y tiene distribución geométrica. La distribución estable geométrica puede ser simétrica o asimétrica. Una distribución estable geométrica simétrica también se conoce como distribución de Linnik.. [2] La distribución de Laplace y la distribución asimétrica de Laplace son casos especiales de la distribución estable geométrica. La distribución de Laplace también es un caso especial de distribución de Linnik. La distribución de Mittag-Leffler también es un caso especial de distribución estable geométrica. [3]
Parámetros | α ∈ (0,2] - parámetro de estabilidad | ||
---|---|---|---|
Apoyo | x ∈ R , o x ∈ [ μ , + ∞) si α <1 y β = 1 , o x ∈ (−∞, μ ] si α <1 y β = −1 | ||
no expresable analíticamente, excepto para algunos valores de parámetros | |||
CDF | no expresable analíticamente, excepto para ciertos valores de parámetros | ||
Mediana | μ cuando β = 0 | ||
Modo | μ cuando β = 0 | ||
Diferencia | 2 λ 2 cuando α = 2 , de lo contrario infinito | ||
Oblicuidad | 0 cuando α = 2 , de lo contrario indefinido | ||
Ex. curtosis | 3 cuando α = 2 , de lo contrario indefinido | ||
MGF | indefinido | ||
CF | , |
La distribución estable geométrica tiene aplicaciones en la teoría financiera. [4] [5] [6] [7]
Caracteristicas
Para la mayoría de las distribuciones geométricas estables, la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa no tienen forma cerrada. Pero una distribución estable geométrica se puede definir por su función característica , que tiene la forma: [8]
dónde
, que debe ser mayor que 0 y menor o igual que 2, es el parámetro de forma o índice de estabilidad, que determina el peso de las colas. [8] Inferiorcorresponde a colas más pesadas .
, que debe ser mayor o igual que -1 y menor o igual que 1, es el parámetro de asimetría. [8] Cuando es negativa, la distribución está sesgada hacia la izquierda y cuando es positivo, la distribución está sesgada a la derecha. Cuándoes cero, la distribución es simétrica y la función característica se reduce a: [8]
La distribución estable geométrica simétrica con también se conoce como distribución de Linnik. [9] Una distribución estable geométrica completamente sesgada, es decir, con, , con también se conoce como distribución de Mittag-Leffler. [10] Aunquedetermina la asimetría de la distribución, no debe confundirse con el coeficiente de asimetría típico o el tercer momento estandarizado , que en la mayoría de las circunstancias no está definido para una distribución geométrica estable.
es el parámetro de escala yes el parámetro de ubicación. [8]
Cuándo = 2, = 0 y = 0 (es decir, una distribución estable geométrica simétrica o distribución de Linnik con = 2), la distribución se convierte en la distribución simétrica de Laplace con media de 0, [9] que tiene una función de densidad de probabilidad de:
La distribución de Laplace tiene una varianza igual a. Sin embargo, para la varianza de la distribución estable geométrica es infinita.
Relación con distribuciones estables
Una distribución estable tiene la propiedad de que si son variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica tomadas de una distribución estable, la suma tiene la misma distribución que el s para algunos y .
Las distribuciones estables geométricas tienen una propiedad similar, pero donde el número de elementos en la suma es una variable aleatoria distribuida geométricamente . Sison variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tomadas de una distribución geométrica estable, el límite de la suma se aproxima a la distribución de la s para algunos coeficientes y cuando p se acerca a 0, donde es una variable aleatoria independiente de la s tomado de una distribución geométrica con parámetro p. [5] En otras palabras:
La distribución es estrictamente geométrica estable solo si la suma es igual a la distribución de la s para algunos a . [4]
También existe una relación entre la función característica de distribución estable y la función característica de distribución estable geométrica. La distribución estable tiene una función característica de la forma:
dónde
La función característica geométrica estable se puede expresar en términos de una función característica estable como: [11]
Ver también
- Distribución de Mittag-Leffler
Referencias
- ^ Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, 29 (4): 791–794.
- ^ DO Cahoy (2012). "Un procedimiento de estimación para la distribución de Linnik". Papeles estadísticos . 53 (3): 617–628. arXiv : 1410.4093 . doi : 10.1007 / s00362-011-0367-4 .
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