Fórmula de inversión de Möbius
En matemáticas , la fórmula clásica de inversión de Möbius es una relación entre pares de funciones aritméticas , cada una definida a partir de la otra por sumas sobre divisores . Fue introducido en la teoría de números en 1832 por August Ferdinand Möbius . [1]
Una gran generalización de esta fórmula se aplica a la suma sobre un conjunto arbitrario parcialmente ordenado localmente finito , con la fórmula clásica de Möbius que se aplica al conjunto de los números naturales ordenados por divisibilidad: ver álgebra de incidencia .
donde μ es la función de Möbius y las sumas se extienden sobre todos los divisores positivos d de n (indicado por en las fórmulas anteriores). En efecto, la f ( n ) original se puede determinar dada g ( n ) usando la fórmula de inversión. Se dice que las dos secuencias son transformadas de Möbius entre sí.
La fórmula también es correcta si f y g son funciones de los números enteros positivos en algunos grupo abeliano (visto como un Z - módulo ).
donde ∗ denota la convolución de Dirichlet, y 1 es la función constante 1 ( n ) = 1 . La segunda fórmula se escribe entonces como
El teorema se sigue porque ∗ es (conmutativo y) asociativo, y 1 ∗ μ = ε , donde ε es la función identidad para la convolución de Dirichlet, tomando valores ε (1) = 1 , ε ( n ) = 0 para todo n > 1 . Por lo tanto