El objetivo del análisis modal en mecánica estructural es determinar las formas y frecuencias del modo natural de un objeto o estructura durante la vibración libre . Es común utilizar el método de elementos finitos (FEM) para realizar este análisis porque, al igual que otros cálculos que utilizan el FEM, el objeto que se analiza puede tener una forma arbitraria y los resultados de los cálculos son aceptables. Los tipos de ecuaciones que surgen del análisis modal son los que se ven en los sistemas propios . La interpretación física de los autovalores y autovectores.que vienen de resolver el sistema son que representan las frecuencias y formas de modo correspondientes. A veces, los únicos modos deseados son las frecuencias más bajas porque pueden ser los modos más prominentes en los que el objeto vibrará, dominando todos los modos de frecuencia más alta.
También es posible probar un objeto físico para determinar sus frecuencias naturales y formas modales. Esto se denomina Análisis modal experimental . Los resultados de la prueba física se pueden utilizar para calibrar un modelo de elementos finitos para determinar si las suposiciones subyacentes realizadas eran correctas (por ejemplo, se utilizaron las propiedades correctas del material y las condiciones de contorno).
Eigensystems de FEA
Para el problema más básico que involucra un material elástico lineal que obedece a la ley de Hooke , las ecuaciones matriciales toman la forma de un sistema dinámico de masa de resorte tridimensional. La ecuación generalizada de movimiento se da como: [1]
dónde es la matriz de masas, es la segunda derivada del desplazamiento en el tiempo (es decir, la aceleración), es la velocidad, es una matriz de amortiguación, es la matriz de rigidez, y es el vector de fuerza. El problema general, con amortiguamiento distinto de cero, es un problema de valor propio cuadrático . Sin embargo, para el análisis modal vibracional, la amortiguación generalmente se ignora, dejando solo el primer y tercer término en el lado izquierdo:
Esta es la forma general del sistema propio que se encuentra en la ingeniería estructural que utiliza el FEM . Para representar las soluciones de vibración libre de la estructura se asume el movimiento armónico, [2] de modo que se considera igual , dónde es un valor propio (con unidades de tiempo recíproco al cuadrado, por ejemplo, ), y la ecuación se reduce a: [3]
En contraste, la ecuación para problemas estáticos es:
que se espera cuando todos los términos que tienen una derivada en el tiempo se establecen en cero.
Comparación con el álgebra lineal
En álgebra lineal , es más común ver la forma estándar de un sistema propio que se expresa como:
Ambas ecuaciones pueden verse como iguales porque si la ecuación general se multiplica por la inversa de la masa, , tomará la forma de este último. [4] Debido a que se desean los modos inferiores, es más probable que resolver el sistema implique el equivalente de multiplicar por el inverso de la rigidez,, un proceso llamado iteración inversa . [5] Cuando se hace esto, los valores propios resultantes,, relacionarse con el del original por:
pero los vectores propios son los mismos.
Ver también
Referencias
- ^ Clough, Ray W. y Joseph Penzien, Dynamics of Structures , 2.a edición, McGraw-Hill Publishing Company, Nueva York, 1993, página 173
- ^ Báñese, Klaus Jürgen, Procedimientos de elementos finitos , 2a ed., Prentice-Hall Inc., Nueva Jersey, 1996, página 786
- ^ Clough, Ray W. y Joseph Penzien, Dynamics of Structures , 2a ed., McGraw-Hill Publishing Company, Nueva York, 1993, página 201
- ^ Thomson, William T., Teoría de la vibración con aplicaciones , tercera edición, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, 1988, página 165
- ^ Hughes, Thomas JR, El método de los elementos finitos , Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, 1987 página 582-584