En matemáticas , el problema de valores propios cuadráticos [1] (QEP) es encontrar valores propios escalares , vectores propios izquierdos y autovectores derechos tal que
dónde , con coeficientes matriciales y requerimos que , (para que tengamos un coeficiente principal distinto de cero). Existenvalores propios que pueden ser infinitos o finitos, y posiblemente cero. Este es un caso especial de un problema propio no lineal .también se conoce como matriz polinomial cuadrática .
Aplicaciones
Un QEP puede resultar en parte del análisis dinámico de estructuras discretizadas por el método de elementos finitos . En este caso la cuadrática, tiene la forma , dónde es la matriz de masas ,es la matriz de amortiguación yes la matriz de rigidez . Otras aplicaciones incluyen vibroacústica y dinámica de fluidos.
Métodos de solución
Métodos directos para resolver los problemas de valores propios estándar o generalizados. y se basan en transformar el problema a la forma Schur o Schur Generalizada . Sin embargo, no existe una forma análoga para los polinomios de matrices cuadráticas. Un enfoque es transformar el polinomio de matriz cuadrática en un lápiz de matriz lineal () y resolver un problema de valores propios generalizados. Una vez que se han determinado los autovalores y autovectores del problema lineal, se pueden determinar autovectores y autovalores de la cuadrática.
La linealización más común es la primera linealización complementaria.
dónde es el -por- matriz de identidad, con el vector propio correspondiente
Solucionamos por y , por ejemplo, calculando la forma Schur generalizada. Entonces podemos tomar la primera componentes de como el vector propio de la cuadrática original .
Referencias
- ^ F. Tisseur y K. Meerbergen, El problema de valores propios cuadráticos, SIAM Rev., 43 (2001), págs. 235-286.