En matemáticas , un invariante modular de un grupo es un invariante de un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial de característica positiva (generalmente dividiendo el orden del grupo). El estudio de invariantes modulares se originó aproximadamente en 1914 por Dickson (2004) .
Cuando G es el grupo lineal general finito GL n ( F q ) sobre el campo finito F q de orden una potencia prima q actuando sobre el anillo F q [ X 1 , ..., X n ] de forma natural, Dickson ( 1911) encontró un conjunto completo de invariantes de la siguiente manera. Escriba [ e 1 , ..., e n ] para el determinante de la matriz cuyas entradas son Xq e j
yo, donde e 1 , ..., e n son números enteros no negativos . Por ejemplo, el determinante de Moore [0,1,2] de orden 3 es
Luego, bajo la acción de un elemento g de GL n ( F q ), todos estos determinantes se multiplican por det ( g ), por lo que todos son invariantes de SL n ( F q ) y las razones [ e 1 , ..., e n ] / [0, 1, ..., n - 1] son invariantes de GL n ( F q ), llamados invariantes de Dickson . Dickson demostró que el anillo completo de invariantes F q [ X 1 , ..., X n ] GL n (F q ) es un álgebra polinomial sobre los n invariantes de Dickson [0, 1, ..., i - 1, i + 1, ..., n ] / [0, 1, ..., n - 1] para i = 0, 1, ..., n - 1. Steinberg (1987) dio una demostración más breve del teorema de Dickson.
Las matrices [ e 1 , ..., e n ] son divisibles por todas las formas lineales distintas de cero en las variables X i con coeficientes en el campo finito F q . En particular, el determinante de Moore [0, 1, ..., n - 1] es un producto de tales formas lineales, tomado sobre 1 + q + q 2 + ... + q n - 1 representantes de ( n - 1) -espacio proyectivo dimensional sobre el campo. Esta factorización es similar a la factorización del determinante de Vandermonde en factores lineales.