En álgebra lineal , una matriz de Vandermonde , llamada así por Alexandre-Théophile Vandermonde , es una matriz con los términos de una progresión geométrica en cada fila, es decir, una matriz m × n
o
para todos los índices i y j . [1] Macon y Spitzbart (1958) utilizaron el mismo término matriz de Vandermonde para la transposición de la matriz anterior. La matriz de Vandermonde utilizada para la matriz de transformada discreta de Fourier satisface ambas definiciones.
El determinante de una matriz de Vandermonde cuadrada (donde m = n ) se puede expresar como
Esto se llama determinante de Vandermonde o polinomio de Vandermonde . Es distinto de cero si y solo si todos son distintos.
El determinante de Vandermonde a veces se llamaba discriminante , aunque, en la actualidad, el discriminante de un polinomio es el cuadrado del determinante de Vandermonde de las raíces del polinomio. El determinante de Vandermonde es una forma alterna en el, lo que significa que intercambiando dos cambia el signo, mientras permuta el por una permutación par no cambia el valor del determinante. Depende, pues, de la elección de un orden para el, mientras que su cuadrado, el discriminante, no depende de ningún orden, y esto implica, según la teoría de Galois , que el discriminante es una función polinomial de los coeficientes del polinomio que tiene el como raíces.
Pruebas
La propiedad principal de una matriz de Vandermonde cuadrada.
es que su determinante tiene la forma simple
A continuación se dan tres pruebas de esta igualdad. El primero usa propiedades polinomiales, especialmente la propiedad de factorización única de polinomios multivariados . Aunque conceptualmente simple, involucra conceptos no elementales de álgebra abstracta . La segunda prueba no requiere ningún cálculo explícito, pero involucra los conceptos del determinante de un mapa lineal y cambio de base . También proporciona la estructura de la descomposición LU de la matriz de Vandermonde. El tercero es más elemental y más complicado, y utiliza solo operaciones elementales de filas y columnas .
Usar propiedades polinomiales
Por la fórmula de Leibniz , det ( V ) es un polinomio en elcon coeficientes enteros. Todas las entradas de la i- ésima columna tienen un grado total i - 1 . Así, de nuevo por la fórmula de Leibniz, todos los términos del determinante tienen grado total
(que es el determinante es un polinomio homogéneo de este grado).
Si, por i ≠ j , se sustituye por , se obtiene una matriz con dos filas iguales, que tiene, por tanto, un determinante cero. Así, por el teorema del factor ,es un divisor de det ( V ) . Por la propiedad de factorización única de los polinomios multivariados , el producto de todosdivide det ( V ) , es decir
donde Q es un polinomio. Como producto de todosy det ( V ) tienen el mismo gradoel polinomio Q es, de hecho, una constante. Esta constante es uno, porque el producto de las entradas diagonales de V esque es también el monomio que se obtiene tomando el primer término de todos los factores en Esto prueba que
Usando mapas lineales
Sea F un campo que contiene todos y la F espacio vectorial de los polinomios de grado menor que n con coeficientes en F . Dejar
ser el mapa lineal definido por
La matriz de Vandermonde es la matriz de con respecto a las bases canónicas de y
Cambiando la base deequivale a multiplicar la matriz de Vandermonde por una matriz de cambio de base M (desde la derecha). Esto no cambia el determinante, si el determinante de M es1 .
Los polinomios son monicos de los respectivos grados 0, 1, ..., n - 1 . Su matriz sobre la base del monomio es una matriz triangular superior U (si los monomios están ordenados en grados crecientes), con todas las entradas diagonales iguales a uno. Por tanto, esta matriz es una matriz de cambio de base del determinante uno. La matriz de sobre esta nueva base es
Así, el determinante de Vandermonde es igual al determinante de esta matriz, que es el producto de sus entradas diagonales.
Esto prueba la igualdad deseada. Además, se obtiene la descomposición LU de V como
Por operaciones de fila y columna
Esta tercera prueba se basa en el hecho de que si uno agrega a una columna de una matriz el producto por un escalar de otra columna, entonces el determinante permanece sin cambios.
Entonces, restando a cada columna, excepto a la primera, la columna anterior multiplicada por el determinante no cambia. (Estas restas deben realizarse comenzando desde las últimas columnas, para restar una columna que aún no ha sido modificada). Esto le da a la matriz
Aplicando la fórmula de expansión de Laplace a lo largo de la primera fila, obtenemos, con
Como todas las entradas del -th fila de tener un factor de uno puede sacar estos factores y obtener
dónde es una matriz de Vandermonde en Iterando este proceso en esta matriz de Vandermonde más pequeña, eventualmente se obtiene la expresión deseada de det ( V ) como el producto de todostal que yo < j .
Propiedades resultantes
Una matriz de Vandermonde rectangular m × n tal que m ≤ n tiene rango máximo m si y solo si todas las x i son distintas.
Una matriz de Vandermonde rectangular m × n tal que m ≥ n tiene rango máximo n si y solo si hay n de los x i que son distintos.
Una matriz de Vandermonde cuadrada es invertible si y solo si las x i son distintas. Se conoce una fórmula explícita para la inversa. [2] [3] [4]
Aplicaciones
La matriz de Vandermonde evalúa un polinomio en un conjunto de puntos; formalmente, es la matriz del mapa lineal que mapea el vector de coeficientes de un polinomio al vector de los valores del polinomio en los valores que aparecen en la matriz de Vandermonde. La no desaparición del determinante de Vandermonde para distintos puntosmuestra que, para puntos distintos, el mapa de coeficientes a valores en esos puntos es una correspondencia uno a uno y, por lo tanto, el problema de interpolación polinomial se puede resolver con una solución única; este resultado se denomina teorema de unisolvencia y es un caso especial del teorema chino del resto para polinomios .
Esto puede ser útil en la interpolación de polinomios , ya que invertir la matriz de Vandermonde permite expresar los coeficientes del polinomio en términos de la[5] y los valores del polinomio en el. Sin embargo, el polinomio de interpolación es generalmente más fácil de calcular con la fórmula de interpolación de Lagrange , [6] que puede usarse para derivar una fórmula para el inverso de una matriz de Vandermonde. [7]
El determinante de Vandermonde se utiliza en la teoría de la representación del grupo simétrico . [8]
Cuando los valores pertenecen a un campo finito , entonces el determinante de Vandermonde también se denomina determinante de Moore y tiene propiedades específicas que se utilizan, por ejemplo, en la teoría del código BCH y los códigos de corrección de errores Reed-Solomon .
La transformada discreta de Fourier se define mediante una matriz de Vandermonde específica, la matriz DFT , donde los números α i se eligen como raíces de unidad .
La función de onda de Laughlin con factor de relleno uno (que aparece en el efecto Quantum Hall ), por la fórmula del determinante de Vandermonde, puede considerarse un determinante de Slater . Esto ya no es cierto para factores de relleno diferentes de uno, es decir, en el efecto Hall cuántico fraccional .
Es la matriz de diseño de la regresión polinomial .
Matrices de Vandermonde confluentes
Como se describió anteriormente, una matriz de Vandermonde describe el problema de interpolación de álgebra lineal de encontrar los coeficientes de un polinomio de grado basado en los valores , dónde son puntos distintos . Sino son distintos, entonces este problema no tiene una solución única (lo que se refleja en el hecho de que la matriz de Vandermonde correspondiente es singular). Sin embargo, si damos los valores de las derivadas en los puntos repetidos, entonces el problema puede tener una solución única. Por ejemplo, el problema
dónde es un polinomio de grado , tiene una solución única para todos . En general, suponga queson números (no necesariamente distintos), y supongamos, para facilitar la notación, que los valores iguales vienen en secuencias continuas en la lista. Es decir
dónde y son distintos. Entonces el problema de interpolación correspondiente es
Y la matriz correspondiente para este problema se llama matrices de Vandermonde confluentes . En nuestro caso (que es el caso general, hasta permutar las filas de la matriz) la fórmula para ello se da de la siguiente manera: si, luego para algunos (único) (consideramos ). Entonces nosotros tenemos
Esta generalización de la matriz de Vandermonde la hace no singular (de modo que existe una solución única para el sistema de ecuaciones) al tiempo que conserva la mayoría de las propiedades de la matriz de Vandermonde. Sus filas son derivadas (de algún orden) de las filas originales de Vandermonde.
Otra forma de recibir esta fórmula es dejar que algunos de los Se acercan arbitrariamente el uno al otro. Por ejemplo, si, luego dejando en la matriz de Vandermonde original, la diferencia entre la primera y la segunda fila produce la fila correspondiente en la matriz de Vandermonde confluente. Esto nos permite vincular el problema de interpolación generalizado (valor dado y derivadas en un punto) al caso original donde todos los puntos son distintos: es similar a recibir dónde es muy pequeño.
Ver también
- Polinomio de Schur - una generalización
- Matriz alternativa
- Polinomio de Lagrange
- Wronskian
- Lista de matrices
- Determinante de Moore sobre un campo finito
- Fórmulas de Vieta
Referencias
- ^ Roger A. Horn y Charles R. Johnson (1991), Temas de análisis matricial , Cambridge University Press. Consulte la sección 6.1 .
- ^ Turner, L. Richard (agosto de 1966). Inversa de la matriz de Vandermonde con aplicaciones (PDF) .
- ^ Macon, N .; A. Spitzbart (febrero de 1958). "Inversiones de las matrices de Vandermonde". The American Mathematical Monthly . 65 (2): 95–100. doi : 10.2307 / 2308881 . JSTOR 2308881 .
- ^ "Inversa de la matriz de Vandermonde" . 2018.
- ^ François Viète (1540-1603), fórmulas de Vieta, https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas
- ^ Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 2.8.1. Matrices de Vandermonde" . Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
- ↑ Inverse of Vandermonde Matrix (2018), https://proofwiki.org/wiki/Inverse_of_Vandermonde_Matrix
- ^ Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 . La lección 4 revisa la teoría de la representación de grupos simétricos, incluido el papel del determinante de Vandermonde .
Otras lecturas
- Ycart, Bernard (2013), "Un caso de eponimia matemática: el determinante de Vandermonde", Revue d'Histoire des Mathématiques , 13 , arXiv : 1204.4716 , Bibcode : 2012arXiv1204.4716Y.
enlaces externos
- Matriz de Vandermonde en ProofWiki