En matemáticas , un invariante modular de un grupo es un invariante de un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial de característica positiva (generalmente dividiendo el orden del grupo). El estudio de las invariantes modulares se originó aproximadamente en 1914 por Dickson (2004) .
Invariante de Dickson
Cuando G es el grupo lineal general finito GL n ( F q ) sobre el campo finito F q de orden una potencia prima q actuando sobre el anillo F q [ X 1 , ..., X n ] de forma natural, Dickson ( 1911) encontró un conjunto completo de invariantes de la siguiente manera. Escriba [ e 1 , ..., e n ] para el determinante de la matriz cuyas entradas son Xq e j
yo, donde e 1 , ..., e n son números enteros no negativos . Por ejemplo, el determinante de Moore [0,1,2] de orden 3 es
Luego, bajo la acción de un elemento g de GL n ( F q ), todos estos determinantes se multiplican por det ( g ), por lo que todos son invariantes de SL n ( F q ) y las razones [ e 1 , ..., e n ] / [0, 1, ..., n - 1] son invariantes de GL n ( F q ), llamados invariantes de Dickson . Dickson demostró que el anillo completo de invariantes F q [ X 1 , ..., X n ] GL n ( F q ) es un álgebra polinomial sobre los n invariantes de Dickson [0, 1, ..., i - 1, i + 1, ..., n ] / [0, 1, ..., n - 1] para i = 0, 1, ..., n - 1. Steinberg (1987) dio una demostración más breve del teorema de Dickson.
Las matrices [ e 1 , ..., e n ] son divisibles por todas las formas lineales distintas de cero en las variables X i con coeficientes en el campo finito F q . En particular, el determinante de Moore [0, 1, ..., n - 1] es un producto de tales formas lineales, tomado sobre 1 + q + q 2 + ... + q n - 1 representantes de ( n - 1) -espacio proyectivo dimensional sobre el campo. Esta factorización es similar a la factorización del determinante de Vandermonde en factores lineales.
Ver también
Referencias
- Dickson, Leonard Eugene (1911), "Un sistema fundamental de invariantes del grupo lineal modular general con una solución del problema de forma", Transactions of the American Mathematical Society , 12 (1): 75–98, doi : 10.2307 / 1988736 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1988736
- Dickson, Leonard Eugene (2004) [1914], Sobre los invariantes y la teoría de los números , ediciones de Dover Phoenix, Nueva York: Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-43828-3, MR 0201389
- Rutherford, Daniel Edwin (2007) [1932], invariantes modulares , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 27, Ramsay Press, ISBN 978-1-4067-3850-6, MR 0186665
- Sanderson, Mildred (1913), "Invariantes modulares formales con aplicación a covariantes modulares binarias", Transactions of the American Mathematical Society , 14 (4): 489–500, doi : 10.2307 / 1988702 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1988702
- Steinberg, Robert (1987), "Sobre el teorema de Dickson sobre invariantes" (PDF) , Revista de la Facultad de Ciencias. Universidad de Tokio. Sección IA. Mathematics , 34 (3): 699–707, ISSN 0040-8980 , MR 0927606 , archivado desde el original (PDF) el 2012-03-05 , consultado el 2010-12-02