Módulos de curvas algebraicas

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En geometría algebraica , un espacio de módulos de curvas ( algebraicas ) es un espacio geométrico (típicamente un esquema o una pila algebraica ) cuyos puntos representan clases de isomorfismo de curvas algebraicas . Se trata pues de un caso especial de un espacio de módulos . Dependiendo de las restricciones aplicadas a las clases de curvas algebraicas consideradas, el problema de módulos correspondiente y el espacio de módulos es diferente. También se distingue entre espacios de módulos finos y gruesos para el mismo problema de módulos.

El problema más básico es el de los módulos de curvas completas suaves de un género fijo . En el campo de los números complejos, estos corresponden precisamente a superficies compactas de Riemann del género dado, para las cuales Bernhard Riemann demostró los primeros resultados sobre espacios de módulos, en particular sus dimensiones ("número de parámetros de los que depende la estructura compleja").

La pila de módulos clasifica familias de curvas proyectivas suaves, junto con sus isomorfismos. Cuando , esta pila se puede compactar agregando nuevos puntos de "límite" que corresponden a curvas nodales estables (junto con sus isomorfismos). Una curva es estable si es completa, conexa, no tiene más singularidades que puntos dobles y solo tiene un grupo finito de automorfismos. La pila resultante se denota . Ambas pilas de módulos llevan familias universales de curvas.${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\ estilo de visualización g> 1}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$

Ambas pilas de arriba tienen dimensión ; por lo tanto, una curva nodal estable puede especificarse completamente eligiendo los valores de los parámetros, cuando . En género inferior, se debe tener en cuenta la presencia de familias suaves de automorfismos, restando su número. Hay exactamente una curva compleja de género cero, la esfera de Riemann, y su grupo de isomorfismos es PGL(2). Por lo tanto, la dimensión de es igual a${\displaystyle 3g-3}$${\displaystyle 3g-3}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$

Asimismo, en el género 1, hay un espacio unidimensional de curvas, pero cada una de esas curvas tiene un grupo unidimensional de automorfismos. Por lo tanto, la pila tiene dimensión 0.${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

Es un teorema no trivial, probado por Pierre Deligne y David Mumford , ^[1] que la pila de módulos es irreducible, lo que significa que no puede expresarse como la unión de dos subpilas propias. Demuestran esto analizando el lugar geométrico de las curvas estables en el esquema de Hilbert.${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle H_{g}}$

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