En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , un esquema de Hilbert es un esquema que es el espacio de parámetros para los subesquemas cerrados de algún espacio proyectivo (o un esquema proyectivo más general), refinando la variedad de Chow . El esquema de Hilbert es una unión disjunta de subesquemas proyectivos correspondientes a los polinomios de Hilbert . La teoría básica de los esquemas de Hilbert fue desarrollada por Alexander Grothendieck ( 1961 ). El ejemplo de Hironaka muestra que las variedades no proyectivas no necesitan tener esquemas de Hilbert.
Esquema de Hilbert del espacio proyectivo
El esquema de Hilbert de clasifica subesquemas cerrados de espacio proyectivo en el siguiente sentido: Para cualquier esquema localmente Noetheriano S , el conjunto de puntos S valorados
del esquema de Hilbert es naturalmente isomorfo al conjunto de subesquemas cerrados de que son plana sobre S . Los subesquemas cerrados deque son planas sobre S informal puede ser pensado como las familias de los subsistemas de espacio proyectivo parametrizado por S . El esquema de Hilbert se rompe como una unión desunida de piezas correspondiente al polinomio de Hilbert de los subsistemas de espacio proyectivo con Hilbert polinomio P . Cada una de estas piezas es proyectiva sobre.
Construcción
Grothendieck construyó el esquema de Hilbert del espacio proyectivo n- dimensional sobre un esquema noetheriano S como un subesquema de un Grassmanniano definido por la desaparición de varios determinantes . Su propiedad fundamental es que para un esquema T sobre S , representa el funtor cuyos puntos con valor T son los subesquemas cerrados deque son planas sobre T .
Si X es un subesquema del espacio proyectivo n- dimensional, entonces X corresponde a un ideal graduadodel polinomio anillo S en variables, con piezas graduadas . Para m suficientemente grande , dependiendo solo del polinomio de Hilbert P de X , todos los grupos de cohomología superior de X con coeficientes en O ( m ) desaparecen, por lo que en particulartiene dimensión Q ( m ) - P ( m ) , donde Q es el polinomio de Hilbert del espacio proyectivo.
Elija un valor suficientemente grande de m . El espacio ( Q ( m ) - P ( m )) -dimensional I X ( m ) es un subespacio del espacio Q ( m ) -dimensional S ( m ) , por lo que representa un punto de Grassmannian Gr ( Q ( m ) - P ( m ), Q ( m )) . Esto dará una incrustación de la pieza del esquema de Hilbert correspondiente al polinomio P de Hilbert en este Grassmanniano.
Queda por describir la estructura del esquema en esta imagen, es decir, por describir elementos suficientes para el ideal que le corresponde. Suficiente tales elementos están dados por las condiciones de que el mapa I X ( m ) ⊗ S ( k ) → S ( k + m ) tiene rango como máximo dim ( I X ( k + m )) para todo k positivo , que es equivalente a la desaparición de varios determinantes. (Un análisis más cuidadoso muestra que basta con tomar k = 1 ).
Propiedades [1]
Universalidad
Dado un subesquema cerrado sobre un campo con polinomio de Hilbert , el esquema de Hilbert H = Hilb ( n , P ) tiene un subesquema universal plano sobre tal que
- Las fibras sobre puntos cerrados son subesquemas cerrados de . Para denotar este punto como .
- es universal con respecto a todas las familias planas de subesquemas de teniendo polinomio de hilbert . Es decir, dado un esquema y una familia plana , hay un morfismo único tal que .
Espacio tangente
El espacio tangente del punto viene dado por las secciones globales del paquete normal ; es decir,
Despegue de intersecciones completas
Para intersecciones locales completas tal que , el punto es suave. Esto implica cada deformación de en no está obstruido.
Dimensión del espacio tangente
En el caso , la dimensión de a es mayor o igual a .
Además de estas propiedades, Francis Sowerby Macaulay ( 1927 ) determinó para qué polinomios el esquema de Hilbertno está vacío, y Robin Hartshorne ( 1966 ) demostró que sino está vacío, entonces está conectado linealmente. Entonces, dos subesquemas de espacio proyectivo están en el mismo componente conectado del esquema de Hilbert si y solo si tienen el mismo polinomio de Hilbert.
Los esquemas de Hilbert pueden tener malas singularidades, como componentes irreducibles que no se reducen en todos los puntos. También pueden tener componentes irreductibles de dimensiones inesperadamente altas. Por ejemplo, uno podría esperar que el esquema de Hilbert de d puntos (más precisamente dimensión 0, longitud d subesquemas) de un esquema de dimensión n tenga dimensión dn , pero si n ≥ 3 sus componentes irreducibles pueden tener una dimensión mucho mayor.
Interpretación funcional
Existe una interpretación alternativa del esquema de Hilbert que conduce a una generalización de esquemas de Hilbert relativos que parametrizan subesquemas de un esquema relativo. Para un esquema de base fija, dejar y deja
ser el functor enviando un esquema relativo al conjunto de clases de isomorfismo del conjunto
donde la relación de equivalencia viene dada por las clases de isomorfismo de . Esta construcción es funcional al tomar retrocesos de familias. Dado, hay una familia encima .
Representabilidad para mapas proyectivos
Si el mapa de estructura es proyectivo, entonces este funtor está representado por el esquema de Hilbert construido arriba. Generalizar esto al caso de mapas de tipo finito requiere la tecnología de espacios algebraicos desarrollada por Artin. [2]
Esquema relativo de Hilbert para mapas de espacios algebraicos
En su mayor generalidad, el functor de Hilbert se define para un mapa de tipo finito de espacios algebraicos. definido sobre un esquema . Entonces, el funtor de Hilbert se define como [3]
enviando T a
- .
Este funtor no es representable por un esquema, sino por un espacio algebraico. También si, y es un mapa de esquemas de tipo finito, su functor de Hilbert está representado por un espacio algebraico.
Ejemplos de esquemas de Hilbert
Fano esquemas de hipersuperficies
Uno de los ejemplos motivadores para la investigación del esquema de Hilbert en general fue el esquema de Fano de un esquema proyectivo. Dado un subesquema de grado , hay un esquema en parametrizar dónde es un -plano en , lo que significa que es un grado uno incrustación de . [4] Para superficies lisas en de grado , los esquemas de Fano no vacíos son suaves y de dimensión cero. Esto se debe a que las líneas en superficies lisas tienen autointersección negativa. [4]
Esquema de puntos de Hilbert
Otro conjunto común de ejemplos son los esquemas de Hilbert de -puntos de un esquema , normalmente denotado . Para hay una bonita interpretación geométrica donde los lugares de los límites describir la intersección de puntos puede pensarse en parametrizar puntos junto con sus vectores tangentes. Por ejemplo, es la explosión de la diagonal [5] módulo la acción simétrica.
Hiperuperficies grado d
El esquema de Hilbert de hipersuperficies de grado k en está dado por la proyectivización . Por ejemplo, el esquema de Hilbert de hipersuperficies de grado 2 en es con la hipersuperficie universal dada por
donde el anillo subyacente es grande.
Esquema de Hilbert de curvas y módulos de curvas.
Para un género fijo curva algebraica , el grado de la gavilla dualizadora de tres tensiones se genera globalmente, lo que significa que su característica de Euler está determinada por la dimensión de las secciones globales, por lo que
- .
La dimensión de este espacio vectorial es , de ahí las secciones globales de determinar una incrustación en para cada género curva. Usando la fórmula de Riemann-Roch, el polinomio de Hilbert asociado se puede calcular como
- .
Entonces, el esquema de Hilbert
parametriza todas las curvas del género g . La construcción de este esquema es el primer paso en la construcción de la pila de módulos de curvas algebraicas. La otra herramienta técnica principal son los cocientes GIT, ya que este espacio de módulos se construye como el cociente
- ,
dónde es el sublocus de curvas suaves en el esquema de Hilbert.
Esquema de Hilbert de puntos en una variedad
El "esquema de Hilbert" a veces se refiere al esquema de Hilbert puntual de subesquemas de dimensión 0 en un esquema. De manera informal, esto se puede considerar como algo así como colecciones finitas de puntos en un esquema, aunque esta imagen puede ser muy engañosa cuando varios puntos coinciden.
Hay un morfismo de Hilbert-Chow desde el esquema reducido de puntos de Hilbert hasta la variedad de ciclos de Chow que llevan cualquier esquema de dimensión 0 a su ciclo 0 asociado. (Fogarty 1968 , 1969 , 1973 ).
El esquema de Hilbert de n puntos en M está equipado con un morfismo natural a una n producto simétrico-ésimo de M . Este morfismo es biracional para M de dimensión como máximo 2. Para M de dimensión al menos 3, el morfismo no es biracional para n grande : el esquema de Hilbert es en general reducible y tiene componentes de dimensión mucho mayores que la del producto simétrico.
El esquema de Hilbert de puntos en una curva C (una dimensión-1 colector complejo) es isomorfo a una potencia simétrico de C . Es suave.
El esquema de Hilbert de n puntos en una superficie también es suave (Grothendieck). Si, se obtiene de explotando la diagonal y luego dividiendo por la acción inducida por . Esto fue utilizado por Mark Haiman en su demostración de la positividad de los coeficientes de algunos polinomios de Macdonald .
El esquema de Hilbert de una variedad uniforme de dimensión 3 o más no suele ser uniforme.
Esquemas de Hilbert y geometría hiperkähler
Sea M una superficie compleja de Kähler con( Superficie K3 o un toro). El paquete canónico de M es trivial, como se desprende de la clasificación de superficies de Kodaira . Por tanto, M admite una forma simpléctica holomórfica . Fue observado por Akira Fujiki (pory Arnaud Beauville quetambién es holomórfica simpléctica. Esto no es muy difícil de ver, por ejemplo, para. En efecto,es un golpe en marcha de un cuadrado simétrico de M . Singularidades de son localmente isomorfos a . La explosión de es , y este espacio es simpléctico. Esto se usa para mostrar que la forma simpléctica se extiende naturalmente a la parte lisa de los divisores excepcionales de. Se extiende al resto depor el principio de Hartogs .
Una variedad holomórfica simpléctica de Kähler es hiperkähler , como se deduce del teorema de Calabi-Yau . Los esquemas de Hilbert de puntos en la superficie K3 y en un toro de 4 dimensiones dan dos series de ejemplos de variedades hiperkähler : un esquema de Hilbert de puntos en K3 y una superficie de Kummer generalizada .
Ver también
- Esquema de cotización
- Regularidad Castelnuovo-Mumford
- El gran teorema de Matsusaka
- Módulos de curvas algebraicas
- Espacio de módulos
- Superficie modular Hilbert
- Variedad modular Siegel
Referencias
- ^ Hartshorne, Robin (2010). Teoría de la deformación . Textos de Posgrado en Matemáticas. Nueva York: Springer-Verlag. págs. 5-6. ISBN 978-1-4419-1595-5.
- ^ Artin, M. (31/12/2015), "Algebraización de módulos formales: I", Análisis global: artículos en honor a K. Kodaira (PMS-29) , Princeton: Princeton University Press, págs. 21-72, doi : 10.1515 / 9781400871230-003 , ISBN 978-1-4008-7123-0
- ^ "Sección 97.9 (0CZX): El functor de Hilbert: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 17 de junio de 2020 .
- ^ a b "3264 y todo eso" (PDF) . págs. 203, 212.
- ^ "Una introducción general al esquema de Hilbert de puntos en el plano" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 26 de febrero de 2020.
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- Fogarty, John (1968), "Familias algebraicas en una superficie algebraica", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 90 (2): 511–521, doi : 10.2307 / 2373541 , JSTOR 2373541 , MR 0237496
- Fogarty, John (1969), "Truncated Hilbert functors" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 234 : 65–88, MR 0244268 , archivado desde el original el 12 de febrero de 2013
- Fogarty, John (1973), "Familias algebraicas en una superficie algebraica. II. El esquema de Picard del esquema de Hilbert puntual", American Journal of Mathematics , Johns Hopkins University Press , 95 (3): 660-687, doi : 10.2307 / 2373734 , JSTOR 2373734 , MR 0335512
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- Mumford, David (21 de agosto de 1966), Conferencias sobre curvas en una superficie algebraica , Annals of Mathematics Studies, 59 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6
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- Qin, Zhenbo (2018), esquemas de Hilbert de puntos y álgebras de Lie de dimensión infinita , Encuestas y monografías matemáticas, 228 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-1-4704-4188-3
Ejemplos y aplicaciones
- Fórmula de Bott y geometría enumerativa
- El número de cúbicos retorcidos en una quíntica triple
- Curvas racionales en los tres pliegues de Calabi-Yau: Verificación de las predicciones de simetría especular
enlaces externos
- Bertram, Aaron (1999), Construcción del esquema de Hilbert , consultado el 6 de septiembre de 2008
- Boloñesa, Barbara; Losev, Ivan, Una introducción general al esquema de puntos de Hilbert en el plano (PDF) , archivado desde el original el 30 de agosto de 2017CS1 maint: bot: estado de URL original desconocido ( enlace )
- Maclagan, Diane , Notes on Hilbert Schemes (PDF) , archivado desde el original el 7 de marzo de 2016CS1 maint: bot: estado de URL original desconocido ( enlace )