En geometría algebraica , una curva estable es una curva algebraica que es asintóticamente estable en el sentido de la teoría geométrica invariante .
Esto es equivalente a la condición de que sea una curva conectada completa cuyas únicas singularidades sean puntos dobles ordinarios y cuyo grupo de automorfismos sea finito. La condición de que el grupo de automorfismos sea finito puede ser reemplazada por la condición de que no sea del género aritmético uno y cada componente racional no singular cumpla con los demás componentes en al menos 3 puntos ( Deligne y Mumford 1969 ).
Una curva semi-estable es aquella que satisface condiciones similares, excepto que se permite que el grupo de automorfismo sea reductivo en lugar de finito (o, de manera equivalente, su componente conectado puede ser un toro). Alternativamente, la condición de que los componentes racionales no singulares cumplan con los otros componentes en al menos tres puntos se reemplaza por la condición de que se cumplan en al menos dos puntos.
De manera similar, una curva con un número finito de puntos marcados se llama estable si está completa, conectada, solo tiene puntos dobles ordinarios como singularidades y tiene un grupo de automorfismo finito. Por ejemplo, una curva elíptica (una curva de género 1 no singular con 1 punto marcado) es estable.
Sobre los números complejos, una curva conectada es estable si y solo si, después de eliminar todos los puntos singulares y marcados, las cubiertas universales de todos sus componentes son isomorfas al disco unitario.
Definición
Dado un esquema arbitrario y ambientación una curva de género g estable sobre se define como un morfismo plano adecuado tal que las fibras geométricas se reducen, esquemas unidimensionales conectados tal que
- tiene solo singularidades ordinarias de doble punto
- Cada componente racional cumple con otros componentes en más de puntos
Estas condiciones técnicas son necesarias porque (1) reduce la complejidad técnica (aquí también se puede utilizar la teoría de Picard-Lefschetz), (2) rigidiza las curvas para que no haya automorfismos infinitesimales de la pila de módulos construida posteriormente, y (3) garantiza que el género aritmético de cada fibra es el mismo. Tenga en cuenta que para (1) los tipos de singularidades que se encuentran en las superficies elípticas se pueden clasificar completamente.
Ejemplos de
Un ejemplo clásico de una familia de curvas estables lo da la familia de curvas Weierstrass.
donde las fibras sobre cada punto son suaves y los puntos degenerados solo tienen una singularidad de doble punto. Este ejemplo puede generalizarse al caso de una familia de un parámetro de curvas hiperelípticas suaves que degeneran en un número finito de puntos.
No ejemplos
En el caso general de más de un parámetro, se debe tener cuidado de eliminar las curvas que tengan singularidades peores que las de doble punto. Por ejemplo, considere la familia sobre construido a partir de los polinomios
ya que a lo largo de la diagonal hay singularidades que no son de doble punto. Otro no ejemplo es la familia sobre dado por los polinomios
que son una familia de curvas elípticas que degeneran en una curva racional con una cúspide.
Propiedades
Una de las propiedades más importantes de las curvas estables es el hecho de que son intersecciones locales completas. Esto implica que se puede utilizar la teoría estándar de la dualidad de Serre. En particular, se puede demostrar que para cada curva establees una gavilla relativamente muy amplia; se puede utilizar para incrustar la curva en. Usando la teoría estándar del esquema de Hilbert podemos construir un esquema de módulos de curvas de géneroincrustado en algún espacio proyectivo. El polinomio de Hilbert está dado por
Hay un sublocus de curvas estables contenidas en el esquema de Hilbert
Esto representa el functor
dónde son isomorfismos de curvas estables. Para hacer de este el espacio de módulos de las curvas sin tener en cuenta la incrustación (que está codificada por el isomorfismo de los espacios proyectivos) tenemos que modificar por. Esto nos da la pila de módulos
Ver también
Referencias
- Artin, M .; Winters, G. (1 de noviembre de 1971). " Fibras degeneradas y reducción estable de curvas ". Topología . 10 (4): 373–383. doi : 10.1016 / 0040-9383 (71) 90028-0. ISSN 0040-9383.
- Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreductibilidad del espacio de curvas de un género dado" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288 , doi : 10.1007 / BF02684599 , MR 0262240 , S2CID 16482150
- Gieseker, D. (1982), Conferencias sobre módulos de curvas (PDF) , Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics and Physics, 69 , Publicado para el Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, ISBN 978-3-540-11953-1, MR 0691308
- Harris, Joe ; Morrison, Ian (1998), Módulos de curvas , Textos de posgrado en matemáticas, 187 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98429-2, MR 1631825