Módulo y característica de convexidad
En matemáticas , el módulo de convexidad y la característica de convexidad son medidas de "qué tan convexa " es la bola unitaria en un espacio de Banach . En cierto sentido, el módulo de convexidad tiene la misma relación con la definición de convexidad uniforme ε - δ que el módulo de continuidad con la definición de continuidad ε - δ .
El módulo de convexidad de un espacio de Banach ( X , ||·||) es la función δ : [0, 2] → [0, 1] definida por
donde S denota la esfera unitaria de ( X , || ||). En la definición de δ ( ε ), también se puede tomar el mínimo sobre todos los vectores x , y en X tales que ǁ x ǁ, ǁ y ǁ ≤ 1 y ǁ x − y ǁ ≥ ε . [1]
Estas nociones están implícitas en el estudio general de la convexidad uniforme de J. A. Clarkson ( Clarkson (1936) ; este es el mismo artículo que contiene los enunciados de las desigualdades de Clarkson ). El término "módulo de convexidad" parece deberse a MM Day. [2]
El módulo de convexidad se conoce para los espacios L^p. [7] Si , entonces satisface la siguiente ecuación implícita:
Sabiendo eso se puede suponer que . Sustituyendo esto en lo anterior y expandiendo el lado izquierdo como una serie de Taylor alrededor de , se pueden calcular los coeficientes:
