En análisis matemático , un módulo de continuidad es una función ω: [0, ∞] → [0, ∞] que se utiliza para medir cuantitativamente la continuidad uniforme de funciones. Entonces, una función f : I → R admite ω como módulo de continuidad si y solo si
para todos los x y y en el dominio de f . Dado que se requiere que los módulos de continuidad sean infinitesimales en 0, una función resulta ser uniformemente continua si y solo si admite un módulo de continuidad. Además, la relevancia para la noción viene dada por el hecho de que los conjuntos de funciones que comparten el mismo módulo de continuidad son familias exactamente equicontinuas . Por ejemplo, el módulo ω ( t ): = kt describe las k- funciones de Lipschitz , los módulos ω ( t ): = kt α describen la continuidad de Hölder , el módulo ω ( t ): = kt (| log ( t ) | +1) describe la clase casi Lipschitz , y así sucesivamente. En general, el papel de ω es fijar alguna dependencia funcional explícita de ε sobre δ en la definición (ε, δ) de continuidad uniforme . Las mismas nociones se generalizan naturalmente a funciones entre espacios métricos . Además, una versión local adecuada de estas nociones permite describir cuantitativamente la continuidad en un punto en términos de módulos de continuidad.
Los módulos cóncavos de continuidad juegan un papel especial, especialmente en relación con las propiedades de extensión y con la aproximación de funciones uniformemente continuas. Para una función entre espacios métricos, es equivalente a admitir un módulo de continuidad cóncavo o subaditivo, uniformemente continuo o sublineal (en el sentido de crecimiento ). En realidad, la existencia de tales módulos especiales de continuidad para una función uniformemente continua siempre está garantizada siempre que el dominio sea un subconjunto compacto o convexo de un espacio normado. Sin embargo, una función uniformemente continua en un espacio métrico general admite un módulo cóncavo de continuidad si y solo si las relaciones
son uniformemente acotada para todos los pares ( x , x ') limitado fuera de la diagonal de X x X . Las funciones con la última propiedad constituyen una subclase especial de las funciones uniformemente continuas, a las que a continuación nos referiremos como funciones especiales uniformemente continuas . Las funciones especiales uniformemente continuas de valor real en el espacio métrico X también se pueden caracterizar como el conjunto de todas las funciones que son restricciones a X de funciones uniformemente continuas sobre cualquier espacio normado que contenga X isométricamente . También, puede ser caracterizado como el cierre uniforme de las funciones de Lipschitz en X .
Definicion formal
Formalmente, un módulo de continuidad es cualquier función de valor real extendido creciente ω: [0, ∞] → [0, ∞], desapareciendo en 0 y continua en 0, es decir
Los módulos de continuidad se utilizan principalmente para dar una cuenta cuantitativa tanto de la continuidad en un punto como de la continuidad uniforme, para funciones entre espacios métricos, de acuerdo con las siguientes definiciones.
Una función f : ( X , d X ) → ( Y , d Y ) admite ω como módulo de continuidad (local) en el punto x en X si y solo si,
Además, f admite ω como módulo (global) de continuidad si y solo si,
De manera equivalente, se dice que ω es un módulo de continuidad (resp., En x ) para f , o en breve, f es ω-continuo (resp., En x ). Aquí, tratamos principalmente la noción global.
Hechos elementales
- Si f tiene ω como módulo de continuidad y ω 1 ≥ ω, entonces f admite ω 1 también como módulo de continuidad.
- Si f : X → Y y g : Y → Z son funciones entre espacios métricos con módulos respectivamente ω 1 y? 2 a continuación, el mapa composición tiene módulo de continuidad .
- Si f y g son funciones de la espacio métrico X al espacio de Banach Y , con módulos respectivamente ω 1 y ω 2 , a continuación, cualquier combinación lineal af + bg tiene un módulo de continuidad | a | ω 1 + | b | ω 2 . En particular, el conjunto de todas las funciones de X a Y que tienen ω como módulo de continuidad es un subconjunto convexo del espacio vectorial C ( X , Y ), cerrado bajo convergencia puntual .
- Si f y g son funciones acotadas de valor real en el espacio métrico X , con módulos respectivamente ω 1 y ω 2 , entonces el producto puntual fg tiene módulo de continuidad.
- Si es una familia de funciones de valor real en el espacio métrico X con módulo común de continuidad ω, entonces la envolvente inferior, respectivamente, la envolvente superior , es una función de valor real con módulo de continuidad ω, siempre que tenga un valor finito en cada punto. Si ω tiene un valor real, es suficiente que la envolvente sea finita en un punto de X al menos.
Observaciones
- Algunos autores no requieren monotonicidad y algunos requieren propiedades adicionales como ω ser continuo. Sin embargo, si f admite un módulo de continuidad en la definición más débil, también admite un módulo de continuidad que es creciente e infinitamente diferenciable en] 0, ∞ [. Por ejemplo,
- está aumentando, y ω 1 ≥ ω;
- también es continuo, y ω 2 ≥ ω 1 ,
- y una variante adecuada de la definición anterior también hace que ω 2 sea infinitamente diferenciable en] 0, ∞ [.
- Cualquier función uniformemente continua admite un módulo mínimo de continuidad ω f , que a veces se hace referencia como el (óptimo) módulo de continuidad de f :
- De manera similar, cualquier función continua en el punto x admite un módulo mínimo de continuidad en x , ω f ( t ; x ) ( el módulo (óptimo) de continuidad de f en x ):
- Sin embargo, estas nociones restringidas no son tan relevantes, ya que en la mayoría de los casos el módulo óptimo de f no se podría calcular explícitamente, sino que solo se delimitó desde arriba (por cualquier módulo de continuidad de f). Además, las principales propiedades de los módulos de continuidad conciernen directamente a la definición irrestricta.
- En general, el módulo de continuidad de una función uniformemente continua en un espacio métrico debe tomar el valor + ∞. Por ejemplo, la función f : N → N tal que f ( n ): = n 2 es uniformemente continua con respecto a la métrica discreta en N , y su módulo mínimo de continuidad es ω f ( t ) = + ∞ para cualquier t ≥1 , y ω f ( t ) = 0 en caso contrario. Sin embargo, la situación es diferente para funciones uniformemente continuas definidas en subconjuntos compactos o convexos de espacios normalizados.
Módulos especiales de continuidad
Los módulos especiales de continuidad también reflejan ciertas propiedades globales de funciones como la extensibilidad y la aproximación uniforme. En esta sección tratamos principalmente con módulos de continuidad que son cóncavos , subaditivos , uniformemente continuos o sublineales. Estas propiedades son esencialmente equivalentes en que, para un módulo ω (más precisamente, su restricción en [0, ∞ [) cada una de las siguientes implica lo siguiente:
- ω es cóncavo;
- ω es subaditivo;
- ω es uniformemente continuo;
- ω es sublineal, es decir, no son constantes a y b tales que ω ( t ) ≤ a + b para todos t ;
- ω está dominado por un módulo cóncavo, es decir, existe un módulo cóncavo de continuidad tal que para todo t .
Por tanto, para una función f entre espacios métricos, es equivalente a admitir un módulo de continuidad cóncavo, subaditivo, uniformemente continuo o sublineal. En este caso, la función f a veces se denomina mapa especial uniformemente continuo . Esto siempre es cierto en el caso de dominios compactos o convexos. De hecho, un mapa uniformemente continuo f : C → Y definido en un conjunto convexo C de un espacio normado E siempre admite un módulo de continuidad subaditivo ; en particular, valor real como función ω: [0, ∞ [→ [0, ∞ [. De hecho, es inmediato para comprobar que el módulo óptimo de continuidad ω f definido anteriormente es subaditiva si el dominio de f es convexa: tenemos, para todos los s y t :
Tenga en cuenta que como consecuencia inmediata, cualquier función uniformemente continua en un subconjunto convexo de un espacio normado tiene un crecimiento sublinear: hay constantes a y b tal que | f ( x ) | ≤ a | x | + b para todo x . Sin embargo, una función uniformemente continua en un espacio métrico general admite un módulo cóncavo de continuidad si y solo si las relacionesestán delimitados uniformemente para todos los pares ( x , x ′) con distancia delimitada desde cero; esta condición se satisface ciertamente con cualquier función uniformemente continua acotada; por tanto, en particular, por cualquier función continua en un espacio métrico compacto.
Módulos sublineales y perturbaciones acotadas de Lipschitz
Se puede encontrar fácilmente un módulo de continuidad sublineal para cualquier función uniformemente continua que sea una perturbación acotada de una función de Lipschitz: si f es una función uniformemente continua con módulo de continuidad ω, yg es una función k de Lipschitz con distancia uniforme r de f , entonces f admite el módulo sublineal de continuidad min {ω ( t ), 2 r + kt }. A la inversa, al menos para las funciones de valor real, cualquier función especial uniformemente continua es una perturbación limitada uniformemente continua de alguna función de Lipschitz; de hecho, más es cierto como se muestra a continuación (aproximación de Lipschitz).
Módulos subditivos y extensibilidad
La propiedad anterior para la función uniformemente continua en dominios convexos admite una especie de recíproco al menos en el caso de funciones con valores reales: es decir, cada función especial uniformemente continua con valores reales f : X → R definida en un espacio métrico X , que es un subespacio métrico de un espacio normado E , admite extensiones sobre E que conserva cualquier módulo subaditivo ω de f . La menor y la mayor de estas extensiones son respectivamente:
Como se señaló, cualquier módulo de continuidad subaditivo es uniformemente continuo: de hecho, se admite a sí mismo como un módulo de continuidad. Por lo tanto, f ∗ y f * son respectivamente envolventes inferiores y superiores de familias continuas ω; por lo tanto, sigue siendo ω-continuo. Por cierto, según Kuratowski, incrustar cualquier espacio métrico es isométrico a un subconjunto de un espacio normado. Por tanto, las funciones especiales de valor real uniformemente continuas son esencialmente las restricciones de funciones uniformemente continuas en espacios normativos. En particular, esta construcción proporciona una prueba rápida del teorema de extensión de Tietze en espacios métricos compactos. Sin embargo, para mapeos con valores en espacios de Banach más generales que R , la situación es bastante más complicada; el primer resultado no trivial en esta dirección es el teorema de Kirszbraun .
Aproximación de módulos cóncavos y de Lipschitz
Cada función especial uniformemente continua de valor real f : X → R definida en el espacio métrico X es uniformemente aproximable por medio de funciones de Lipschitz. Además, la velocidad de convergencia en términos de las constantes de Lipschitz de las aproximaciones está estrictamente relacionada con el módulo de continuidad de f . Precisamente, sea ω el módulo cóncavo mínimo de continuidad de f , que es
Sea δ ( s ) la distancia uniforme entre la función f y el conjunto Lip s de todas las funciones de valor real de Lipschitz en C que tienen la constante de Lipschitz s :
Entonces las funciones ω ( t ) y δ ( s ) pueden relacionarse entre sí mediante una transformación de Legendre : más precisamente, las funciones 2δ ( s ) y −ω (- t ) (convenientemente extendidas a + ∞ fuera de sus dominios de finitud ) son un par de funciones convexas conjugadas, [1] para
Dado que ω ( t ) = o (1) para t → 0 + , se deduce que δ ( s ) = o (1) para s → + ∞, eso significa exactamente que f es uniformemente aproximable mediante funciones de Lipschitz. En consecuencia, las funciones dan una aproximación óptima
cada función f s tiene Lipschitz constante s y
de hecho, es la función s -Lipschitz más grande la que realiza la distancia δ ( s ). Por ejemplo, las funciones de valor real α-Hölder en un espacio métrico se caracterizan como aquellas funciones que pueden aproximarse uniformemente mediante funciones s -Lipschitz con velocidad de convergencia mientras que las funciones casi de Lipschitz se caracterizan por una velocidad exponencial de convergencia
Ejemplos de uso
- Sea f : [ a , b ] → R una función continua. En la prueba de que f es integrable de Riemann , generalmente se acota la distancia entre las sumas de Riemann superior e inferior con respecto a la partición de Riemann P : = { t 0 , ..., t n } en términos del módulo de continuidad de f y la malla de la partición P (que es el número)
- Para ver un ejemplo de uso en la serie de Fourier, consulte Prueba de Dini .
Historia
Steffens (2006, p. 160) atribuye el primer uso de omega para el módulo de continuidad a Lebesgue (1909, p. 309 / p. 75) donde omega se refiere a la oscilación de una transformada de Fourier. De la Vallée Poussin (1919, págs. 7-8) menciona ambos nombres (1) "módulo de continuidad" y (2) "módulo de oscilación" y luego concluye "pero elegimos (1) llamar la atención sobre el uso que lo hará ".
El grupo de traducción de las funciones L p y los módulos de continuidad L p .
Sea 1 ≤ p ; sea f : R n → R una función de clase L p , y sea h ∈ R n . La h - traslación de f , la función definida por (τ h f ) ( x ): = f ( x - h ), pertenece a la clase L p ; además, si 1 ≤ p <∞, entonces como ǁ h ǁ → 0 tenemos:
Por lo tanto, dado que las traslaciones son de hecho isometrías lineales, también
como ǁ h ǁ → 0, uniformemente en v ∈ R n .
En otras palabras, el mapa h → τ h define un grupo fuertemente continuo de isometrías lineales de L p . En el caso p = ∞, la propiedad anterior no se cumple en general: en realidad, se reduce exactamente a la continuidad uniforme y define las funciones continuas uniformes. Esto lleva a la siguiente definición, que generaliza la noción de módulo de continuidad de las funciones uniformemente continuas: un módulo de continuidad L p para una función medible f : X → R es un módulo de continuidad ω: [0, ∞] → [0, ∞] tal que
De esta manera, los módulos de continuidad también dan una explicación cuantitativa de la propiedad de continuidad compartida por todas las funciones L p .
Módulo de continuidad de órdenes superiores
Puede verse que la definición formal del módulo utiliza la noción de diferencia finita de primer orden:
Si reemplazamos esa diferencia con una diferencia de orden n , obtenemos un módulo de continuidad de orden n :
Ver también
Referencias
- Choquet, G. (1964). Cours D'Analyse. Tome II, Topologie (en francés). París: Masson et C ie .
- Efimov, AV (2001) [1994], "Continuidad, módulo de" , Enciclopedia de Matemáticas , Springer, ISBN 1-4020-0609-8
- Lebesgue, H. (1909). "Sur les intégrales singulières". Ana. Fac. Sci. Univ. Toulouse. 3 . págs. 25-117. Falta o vacío
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( ayuda ) Reproducido en: Lebesgue, Henri. Œuvres scientifiques (en francés). 3 . págs. 259–351. - Poussin, Ch. de la Vallée (1952). L'approximation des fonctions d'une variable réelle (en francés) (Reimpresión de 1919 ed.). París: Gauthier-Villars.
- Benyamini, Y; Lindenstrauss, J (1998). Análisis funcional geométrico no lineal: Volumen 1 (Publicaciones del coloquio, Vol. 48 ed.). Providence, RI: American Mathematical Soc.
- Steffens, K.-G. (2006). La historia de la teoría de la aproximación . Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4353-2.