Curva de momento
En geometría , la curva de momento es una curva algebraica en el espacio euclidiano d -dimensional dado por el conjunto de puntos con coordenadas cartesianas de la forma
En el plano euclidiano , la curva de momento es una parábola , y en el espacio tridimensional es un cúbico retorcido . Su cierre en el espacio proyectivo es la curva normal racional .
Las curvas de momento se han utilizado para varias aplicaciones en geometría discreta, incluidos los politopos cíclicos , el problema de no tres en línea y una prueba geométrica del número cromático de gráficos de Kneser .
Cada hiperplano interseca la curva de momento en un conjunto finito de como máximo d puntos. Si un hiperplano interseca la curva exactamente en d puntos, entonces la curva cruza el hiperplano en cada punto de intersección. Por lo tanto, cada punto finito establecido en la curva de momentos está en una posición lineal general . [2]
El casco convexo de cualquier conjunto finito de puntos en la curva de momento es un politopo cíclico . [3] Los politopos cíclicos tienen el mayor número posible de caras para un número dado de vértices, y en dimensiones cuatro o más tienen la propiedad de que sus aristas forman un gráfico completo . Más fuertemente, son politopos vecinos , lo que significa que cada conjunto de como máximo d / 2 vértices del politopo forma una de sus caras. Los conjuntos de puntos en la curva de momento también realizan el máximo número posible de simples , entre todas las triangulaciones de Delaunay posibles de conjuntos de n puntos en d dimensiones. [4]
En el plano euclidiano , es posible dividir cualquier área o medida en cuatro subconjuntos iguales, utilizando el teorema del sándwich de jamón . De manera similar, pero más complicada, cualquier volumen o medida en tres dimensiones puede dividirse en ocho subconjuntos iguales por tres planos. Sin embargo, este resultado no se generaliza a cinco o más dimensiones, ya que la curva de momento proporciona ejemplos de conjuntos que no se pueden dividir en 2 subconjuntos d por dhiperplanos. En particular, en cinco dimensiones, conjuntos de cinco hiperplanos pueden dividir segmentos de la curva de momento en un máximo de 26 piezas. No se sabe si siempre son posibles las particiones de cuatro dimensiones en 16 subconjuntos iguales por cuatro hiperplanos, pero es posible dividir 16 puntos en la curva de momento de cuatro dimensiones en los 16 ortes de un conjunto de cuatro hiperplanos. [5]