En matemáticas , la curva normal racional es una curva C suave y racional de grado n en el espacio n proyectivo P n . Es un ejemplo simple de variedad proyectiva ; formalmente, es la variedad Veronese cuando el dominio es la línea proyectiva. Para n = 2 es el plano cónico Z 0 Z 2 = Z2
1, y para n = 3 es el cúbico retorcido . El término "normal" se refiere a la normalidad proyectiva , no a los esquemas normales . La intersección de la curva normal racional con un espacio afín se llama curva de momento .
Definición
La curva normal racional se puede dar de forma paramétrica como la imagen del mapa
que asigna a las coordenadas homogéneas [ S : T ] el valor
En las coordenadas afines del gráfico x 0 ≠ 0 el mapa es simplemente
Es decir, la curva normal racional es el cierre por un solo punto en el infinito de la curva afín
De manera equivalente, la curva normal racional puede entenderse como una variedad proyectiva , definida como el locus cero común de los polinomios homogéneos.
dónde son las coordenadas homogéneas en P n . No se necesita el conjunto completo de estos polinomios; es suficiente elegir n de estos para especificar la curva.
Parametrización alternativa
Dejar ser n + 1 puntos distintos en P 1 . Entonces el polinomio
es un polinomio homogéneo de grado n + 1 con raíces distintas. Los polinomios
son entonces una base para el espacio de polinomios homogéneos de grado n . El mapa
o, de manera equivalente, dividiendo por G ( S , T )
es una curva normal racional. Que esta es una curva normal racional puede entenderse observando que los monomios
son solo una posible base para el espacio de polinomios homogéneos de grado n . De hecho, cualquier base servirá. Esto es solo una aplicación del enunciado de que dos variedades proyectivas cualesquiera son proyectivamente equivalentes si son congruentes módulo el grupo lineal proyectivo PGL n + 1 ( K ) (con K el campo sobre el cual se define el espacio proyectivo).
Esta curva racional envía los ceros de G a cada uno de los puntos de coordenadas de P n ; es decir, todos menos uno de la H i desvanezco para un cero de G . A la inversa, cualquier curva normal racional que pase por los puntos de coordenadas n + 1 puede escribirse paramétricamente de esta forma.
Propiedades
La curva normal racional tiene una variedad de propiedades agradables:
- Cualquier n + 1 puntos en C son linealmente independientes y abarcan P n . Esta propiedad distingue la curva normal racional de todas las demás curvas.
- Dados n + 3 puntos en P n en posición general lineal (es decir, sin n + 1 en un hiperplano ), hay una curva normal racional única que pasa a través de ellos. La curva se puede especificar explícitamente usando la representación paramétrica, colocando n + 1 de los puntos en los ejes de coordenadas y luego mapeando los otros dos puntos a [ S : T ] = [0: 1] y [ S : T ] = [1: 0] .
- Las rectas tangente y secante de una curva normal racional son disjuntas por pares, excepto en los puntos de la propia curva. Esta es una propiedad compartida por incrustaciones suficientemente positivas de cualquier variedad proyectiva.
- Existen
- cuadrículas independientes que generan el ideal de la curva.
- La curva no es una intersección completa , para n > 2 . Es decir, no se puede definir (como un subesquema del espacio proyectivo) por sólo n - 1 ecuaciones, siendo esa la codimensión de la curva en.
- El mapeo canónico para una curva hiperelíptica tiene una imagen de una curva normal racional y es 2 a 1.
- Toda curva no degenerada irreducible C ⊂ P n de grado n es una curva normal racional.
Ver también
Referencias
- Joe Harris, Geometría algebraica, Un primer curso , (1992) Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-97716-3