Relación energía-profundidad en un canal rectangular

En el flujo de canal abierto , la energía específica ( e ) es la longitud de energía, o altura, en relación con el fondo del canal. La energía específica se expresa en términos de energía cinética , energía potencial y energía interna . La ecuación de Bernoulli , que se origina a partir de un análisis de volumen de control, se utiliza para describir relaciones energéticas específicas en la dinámica de fluidos . La forma de la ecuación de Bernoulli discutida aquí supone que el flujo es incompresible y constante. Los tres componentes de energía en la ecuación de Bernoulli son elevación, presión y velocidad.. Sin embargo, dado que con el flujo de canal abierto, la superficie del agua está abierta a la atmósfera , el término de presión entre dos puntos tiene el mismo valor y, por lo tanto, se ignora. Por tanto, si se conocen la energía específica y la velocidad del flujo en el canal, se puede determinar la profundidad del flujo. Esta relación se puede utilizar para calcular cambios en profundidad aguas arriba o aguas abajo de cambios en el canal, como escalones, constricciones o estructuras de control. También es la relación fundamental utilizada en el método de pasos estándar para calcular cómo cambia la profundidad de un flujo en un tramo a partir de la energía ganada o perdida debido a la pendiente del canal.

Introducción

Con el término de presión ignorado, la energía existe en dos formas, potencial y cinética . Suponiendo que todas las partículas de fluido se mueven a la misma velocidad, se aplica la expresión general para la energía cinética ( KE = ½mv ² ). Esta expresión general se puede escribir en términos de energía cinética por unidad de peso de fluido,

${\displaystyle {\frac {\mathit {KE}}{\textrm {weight}}}={\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{\gamma V}}={\frac {{\frac {1}{2}}{\bigl (}\rho V{\bigr )}v^{2}}{\rho gV}}}$           (1)

Dónde:	m = masa
	v = velocidad del fluido (duración / tiempo)
	V = volumen (longitud 3 )
	ρ = densidad del fluido (masa / volumen)
	γ = peso específico del agua (peso / unidad de volumen)
	g = aceleración debida a la gravedad (duración / tiempo 2 )

La energía cinética, en pies, se representa como la cabeza de velocidad ,

${\displaystyle {\mathit {KE}}={\frac {v^{2}}{2g}}}$          (2)

Las partículas de fluido también tienen energía potencial, que está asociada con la elevación del fluido por encima de un dato arbitrario. Para un fluido de peso ( ρg ) a una altura y por encima del dato establecido, la energía potencial es wy . Por lo tanto, la energía potencial por unidad de peso de fluido se puede expresar simplemente como la altura sobre el dato,

${\displaystyle {\frac {\mathit {PE}}{\rho g}}=y}$          (3)

La combinación de los términos de energía para las energías cinética y potencial junto con las influencias debidas a la presión y la pérdida de carga da como resultado la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2g}}+y_{1}+{\frac {P_{1}}{\gamma }}-h_{f}={\frac {v_{2}^{2}}{2g}}+y_{2}+{\frac {P_{2}}{\gamma }}}$           (4)

Dónde:	y = la distancia vertical desde el datum (longitud)
	P = presión (peso / volumen)
	h f = pérdida de carga debido a la fricción (longitud)

A medida que el fluido se mueve corriente abajo, se pierde energía debido a la fricción. Estas pérdidas pueden deberse a la rugosidad del lecho del canal, las constricciones del canal y otras estructuras de flujo. En este análisis se desprecia la pérdida de energía debida a la fricción.

La ecuación 4 evalúa el flujo en dos ubicaciones: punto 1 (aguas arriba) y punto 2 (aguas abajo). Como se mencionó anteriormente, la presión en las ubicaciones 1 y 2 es igual a la presión atmosférica en el flujo de canal abierto, por lo que los términos de presión se cancelan. La pérdida de carga debida a la fricción también se descuida al determinar la energía específica; por lo tanto, este término también desaparece. Después de estas cancelaciones, la ecuación se convierte en,

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2g}}+y_{1}={\frac {v_{2}^{2}}{2g}}+y_{2}}$           (5)

y la energía específica total en cualquier punto del sistema es,

${\displaystyle E={\frac {v^{2}}{2g}}+y}$           (6)

Descarga volumétrica

Para evaluar el término de energía cinética, se necesita la velocidad del fluido. La descarga volumétrica, Q se usa típicamente en cálculos de flujo de canal abierto. Para los canales rectangulares, también se utiliza la descarga de la unidad, y muchas fórmulas alternativas para canales rectangulares utilizar este término en lugar de v o Q . En las unidades habituales de EE. UU., Q está en pies ³ / seg. y q es en ft ² / seg.

${\displaystyle q={\frac {Q}{b}}}$           (7)

Dónde:	q = unidad de descarga (duración 2 / tiempo)
	Q = descarga volumétrica (duración 3 / tiempo)
	b = ancho de la base del canal rectangular (largo)

La ecuación 6 se puede reescribir para canales rectangulares como,

${\displaystyle E={\frac {q^{2}}{2gy^{2}}}+y}$           (8)

El diagrama E – y

Para una descarga dada, la energía específica puede calcularse para varias profundidades de flujo y trazarse en un diagrama E – y. A continuación se muestra un diagrama E – y típico.

En el diagrama de energía específico anterior se grafican tres valores q diferentes . Las descargas de la unidad aumentan de izquierda a derecha, lo que significa que q ₁ < q ₂ < q ₃ . Existe una relación asintótica distinta cuando la parte superior de la curva se acerca a la línea E = y y la parte inferior de la curva tiende hacia el eje x . También se muestran la energía crítica o energía mínima, E _cy el valor de profundidad crítica correspondiente, y _c . Los valores mostrados son para q ₁ descarga solamente, pero existen valores críticos únicos para cualquier descarga.

Relaciones de flujo críticas

El valor crítico de profundidad mencionado en la sección del diagrama E – y anterior está representado matemáticamente por la relación entre la velocidad del fluido y la velocidad de una onda de gravedad de pequeña amplitud . Esta relación se llama número de Froude .

${\displaystyle {\mathit {Fr}}={\frac {v}{\sqrt {gy}}}}$           (9)

La profundidad crítica tiene un número de Froude igual a uno y corresponde a la energía mínima que puede poseer un flujo para una descarga determinada. No todos los flujos son críticos, entonces, ¿qué pasa con los números de Froude que no son iguales a uno? Los números de Froude por debajo de uno se consideran subcríticos y los números de Froude por encima de uno se consideran supercríticos .

${\displaystyle {\mathit {Fr}}=1;\;{\textit {Critical}}}$           (10)

${\displaystyle {\mathit {Fr}}<1;\;{\textit {Subcritical}}}$           (11)

${\displaystyle {\mathit {Fr}}>1;\;{\textit {Supercritical}}}$           (12)

Físicamente, el flujo subcrítico es profundo y las velocidades son lentas. Esto significa que el flujo subcrítico tiene una energía potencial alta y una energía cinética baja. El flujo supercrítico, por otro lado, tiende a ser superficial y las velocidades son rápidas. El flujo supercrítico tiene una energía potencial baja y una energía cinética alta.

Si nos remitimos al diagrama E – y, se ve que una línea pasa por el valor crítico en cada curva de descarga sucesiva. Esta línea corresponde a .${\displaystyle y=2/3E}$

Los valores de profundidad en la curva E – y mayores que la profundidad crítica corresponden a profundidades de flujo subcríticas. Asimismo, valores inferiores a la profundidad crítica corresponden a profundidades de flujo supercríticas.

Para canales rectangulares, la profundidad crítica se puede calcular tomando la derivada de la ecuación de energía y estableciéndola igual a cero. La energía asociada con la profundidad crítica se encuentra colocando la expresión de profundidad crítica en la ecuación de energía específica. La expresión de energía crítica se demuestra gráficamente mediante la línea , que conecta los valores críticos de profundidad.${\displaystyle y_{c}=2/3E_{c}}$

${\displaystyle {\frac {dE}{dy}}={\frac {d}{dy}}{\biggl (}{\frac {q^{2}}{2gy^{2}}}+y{\biggr )}=0}$           (13)

${\displaystyle y_{c}={\biggl (}{\frac {q^{2}}{g}}{\biggr )}^{\frac {1}{3}}}$           (14)

${\displaystyle E_{c}={\frac {3}{2}}y_{c}}$           (15)

Profundidades alternas

Para un valor de energía y una descarga dados, generalmente existen dos posibles profundidades de flujo correspondientes. En el diagrama anterior, las profundidades alternas están etiquetadas como y ₁ e y ₂ y corresponden a las regiones de flujo subcrítico y supercrítico, respectivamente. Esto es válido para todos los valores de energía superiores a la energía crítica. Esta relación no es válida para la energía crítica donde solo es posible la profundidad crítica, y _c , y para valores de energía menores que la energía de la profundidad crítica donde no hay profundidades positivas. La siguiente ecuación se puede utilizar para resolver una profundidad alternativa en términos de la otra en canales rectangulares. Los valores para y ₁ y y ₂ son intercambiables.

${\displaystyle y_{2}={\frac {2y_{1}}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8gy_{1}^{3}}{q^{2}}}}}}}={\frac {2y_{1}}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8}{{Fr_{1}}^{2}}}}}}}}$           (dieciséis)

Teoría y derivación de la relación de profundidad alternativa

En el flujo de canal abierto de canales rectangulares, la ecuación de profundidad alternativa relaciona las profundidades de flujo en estado estable aguas arriba ( y ₁ ) y aguas abajo ( y ₂ ) de un flujo que encuentra un dispositivo de control, como una compuerta, que conserva energía para una descarga determinada.

La ecuación de profundidad alternativa se puede derivar de manera similar a la ecuación de profundidad conjugada. En el flujo de canal abierto de canales rectangulares, la ecuación de profundidad conjugada relaciona las profundidades de flujo en estado estable aguas arriba ( y ₁ ) y aguas abajo ( y ₂ ) para un flujo que encuentra un salto hidráulico puro, que conserva el impulso para una descarga determinada. La derivación matemática de la ecuación de profundidad conjugada puede ser una herramienta útil para comprender la derivación de la ecuación de profundidad alternativa; consulte el enlace anterior para obtener una explicación más detallada de su derivación.

Ecuación de profundidad conjugada

${\displaystyle y_{2}={\frac {y_{1}}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)}$           (17)

Relación de dualidad entre el impulso y las funciones de energía específicas y la derivación de la relación de profundidad alternativa

Otro concepto importante que puede aplicarse a la derivación de la ecuación de profundidad alternativa surge de la comparación de la función de momento adimensional con la función de energía específica adimensional. Puede verse que la función de momento adimensional ( M ^' ) tiene la misma relación funcional que la función de energía específica adimensional ( E ^" ) cuando ambas se transforman adecuadamente (Henderson 1966). De esta comparación se puede observar que cualquier resultado que se aplica a la ecuación de momento adimensional ( M ^' ) también se aplicaría a la ecuación de energía específica adimensional ( E ^"). A partir de este concepto de dualidad podemos determinar el análogo a la ecuación de profundidad conjugada para la ecuación de energía específica para proporcionar una relación analítica entre profundidades alternas y ₁ e y ₂ . A continuación se muestran las derivaciones matemáticas detrás de este concepto:

Función de impulso adimensional

1) Comenzando con la función de impulso para un canal rectangular:

${\displaystyle {M}={\frac {q^{2}}{gy}}+{\frac {y^{2}}{2}}}$          (18)

2) Dividir por ( y _{c ²} ) para obtener una forma adimensional :

${\displaystyle {\frac {M}{y_{c}^{2}}}={\frac {q^{2}}{gyy_{c}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2y_{c}^{2}}}}$          (19)

3) Establecer , y realizar la sustitución de :${\displaystyle M'={\frac {M}{y_{c}^{2}}}}$${\displaystyle y'={\frac {y}{y_{c}}}}$${\displaystyle q^{2}=gy_{c}^{3}}$

${\displaystyle M'={\frac {1}{y'}}+{\frac {y'^{2}}{2}}}$          (20)

Función de energía específica adimensional

1) Comenzando con la función de energía específica para un canal rectangular:

${\displaystyle E={\frac {q^{2}}{2gy^{2}}}+y}$           (8)

2) Divida por y _c para obtener una forma adimensional:

${\displaystyle {\frac {E}{y_{c}}}={\frac {y}{y_{c}}}+{\frac {q^{2}}{2gy^{2}y_{c}}}}$          (21)

3) Dónde , y haciendo la sustitución de  :${\displaystyle E'={\frac {E}{y_{c}}}}$${\displaystyle y'={\frac {y}{y_{c}}}}$${\displaystyle q^{2}=gy_{c}^{3}}$

${\displaystyle E'=y'+{\frac {1}{2y'^{2}}}}$          (22)

4) Estableciendo y sustituyendo en la ecuación (22) encontramos la forma adimensional final de la función de energía específica:${\displaystyle y''={\frac {1}{y'}}={\frac {y_{c}}{y}}}$

${\displaystyle E''={\frac {1}{y''}}+{\frac {y''^{2}}{2}}}$          (23)

Mediante la comparación de las funciones de momento adimensional y de energía específica, se puede observar que nuestra ecuación final de energía específica adimensional es idéntica a la relación funcional que se determinó para la ecuación de momento adimensional:

${\displaystyle M'={\frac {1}{y'}}+{\frac {y'^{2}}{2}}}$y           (20, 23)${\displaystyle E''={\frac {1}{y''}}+{\frac {y''^{2}}{2}}}$

Por lo tanto, cualquier resultado que se aplique a la ecuación de momento adimensional también se aplicaría a la ecuación de energía específica adimensional, siempre que se utilice la transformada.

Derivación de la ecuación de profundidad alternativa

Utilizando la ecuación de profundidad conjugada y el concepto de dualidad entre las formas adimensionales de las funciones de momento ( M ^' ) y energía específica ( E ^" ) se puede obtener una relación analítica entre profundidades alternas.

1) Comience con la ecuación de profundidad conjugada (ecuación 17):

${\displaystyle y_{2}={\frac {y_{1}}{2}}\left({\sqrt {1+8{\mathit {Fr}}_{1}^{2}}}-1\right)}$, donde Fr ₁ es el número de Froude en la ubicación 1

2) Desarrolle el análogo a Fr ₁ observando que la ecuación de momento adimensional (ecuación 20) tiene un valor de y ^' igual a la unidad a profundidad crítica. Si elegimos , la relación My resultante será numéricamente idéntica a la relación adimensional M ^' -y ^' ya que y _c es la unidad. Para esta unidad de descarga q, el número de Froude se simplifica a:${\displaystyle q={\sqrt {g}}}$

${\displaystyle {\mathit {Fr}}_{\left(q={\sqrt {g}}\right)}={\frac {v}{\sqrt {gy}}}={\frac {q}{\sqrt {gy^{3}}}}={\frac {\sqrt {g}}{\sqrt {gy^{3}}}}={\frac {1}{\sqrt {y^{3}}}}}$          (24)

3) Aunque dimensionalmente y ₁ y y ₁ ^" son diferentes, sus magnitudes numéricas son las mismas en la unidad y, por lo tanto, podemos expresar el análogo de Fr ₁ en la ecuación de profundidad conjugada como:

${\displaystyle {\tilde {{\mathit {Fr}}_{1}}}={\frac {1}{\sqrt {y''^{3}}}}}$          (25)

donde la tilde en el símbolo indica que esta es simplemente la ecuación de energía específica análoga al número de Froude en este análisis.${\displaystyle {\tilde {{\mathit {Fr}}_{1}}}}$

4) Sustituyendo en la ecuación de profundidad conjugada adimensional y recordando tanto para y ₁ como para y ₂ :${\displaystyle {\tilde {{\mathit {Fr}}_{1}}}}$${\displaystyle y''={\frac {1}{y'}}={\frac {y_{c}}{y}}}$

${\displaystyle y''_{2}={\frac {y''_{1}}{2}}\left(-1+{\sqrt {1+{\frac {8}{(y_{1}'')^{3}}}}}\right)}$          (26)

5) Observando que y , la ecuación (26) se puede simplificar a la relación de profundidad alternativa analítica final:${\displaystyle y_{2}={\frac {y_{c}}{y_{2}''}}}$${\displaystyle \left(y_{1}''\right)^{3}=\left({\frac {y_{c}}{y_{1}}}\right)^{3}={\frac {q^{2}}{gy_{1}^{3}}}}$

${\displaystyle y_{2}={\frac {2y_{1}}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8gy_{1}^{3}}{q^{2}}}}}}}}$           (27)

6) Recordando que para canales rectangulares, y reconociendo que , la relación de profundidad alternativa analítica final también se puede representar como:${\displaystyle y_{c}=\left({\frac {q^{2}}{g}}\right)^{\frac {1}{3}}}$${\displaystyle Fr={\frac {v}{\sqrt {gy}}}={\frac {q}{y{\sqrt {gy}}}}}$${\displaystyle {\mathit {Fr}}^{2}=\left({\frac {y_{c}}{y}}\right)^{3}={\frac {q^{2}}{gy^{3}}}}$

${\displaystyle y_{2}={\frac {2y_{1}}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8gy_{1}^{3}}{q^{2}}}}}}}={\frac {2y_{1}}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8}{{{\mathit {Fr}}_{1}}^{2}}}}}}}}$           (dieciséis)

Observe que debido a la simetría de la ecuación de profundidad conjugada original, la ecuación de profundidad alternativa adimensional resultante se aplica independientemente del número de Froude en la ubicación 1. Es decir, y ₁ puede corresponder a condiciones de flujo supercríticas o subcríticas. La relación profundidad alterna producirá la profundidad alternativo para y ₁ correspondiente al régimen de flujo opuesto en ambos casos.

Según el conocimiento del autor, este resultado final para la relación de profundidad alternativa no aparece en ningún libro de texto y es una contribución original del Dr. Glenn E. Moglen de Virginia Tech y aparece en este sitio web con la ayuda de Paul Le Bel y la CEE. 5984 Curso de flujo de canal abierto en Virginia Tech.

Ejemplo

El concepto de profundidades alternas se puede demostrar con un ejemplo de compuerta . Las compuertas se utilizan para controlar el flujo de agua en canales abiertos y, en condiciones ideales, donde se ignora la fricción, conservan energía para una descarga determinada.

El agua fluye en un canal rectangular que contiene una compuerta. La profundidad de aguas arriba del flujo, y ₁ es de 5,0 ft, la abertura de compuerta es de 1,0 ft, y la descarga de la unidad es, . ¿Cuál es la profundidad del flujo aguas abajo de la compuerta, y ₂ ?${\displaystyle q=10.{\frac {{\textrm {ft}}^{2}}{\textrm {s}}}}$

Dado que la energía se conserva en una compuerta, las energías aguas arriba y aguas abajo son iguales, o . La ecuación de energía específica (ecuación 8), la ecuación de profundidad alternativa (ecuación 16) y un diagrama E – y se utilizan para demostrar cómo resolver este problema.${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$

${\displaystyle y_{2}={\frac {2y_{1}}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8gy_{1}^{3}}{q^{2}}}}}}}={\frac {2(5.0\,\mathrm {ft} )}{-1+{\sqrt {1+{\frac {8(32.2{\frac {\mathrm {ft} }{\mathrm {s} ^{2}}})(5.0\,\mathrm {ft} )^{3}}{\left(10{\frac {\mathrm {ft} ^{2}}{\mathrm {s} }}\right)^{2}}}}}}}=0.59\,\mathrm {ft} }$

Compare energías específicas en las profundidades aguas arriba ( y ₁ ) y aguas abajo ( y ₂ ) para demostrar la conservación de la energía ( ) en una compuerta:${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$

${\displaystyle E_{1}=y_{1}+{\frac {q^{2}}{2gy_{1}^{2}}}=5.0\,\mathrm {ft} +{\frac {\left(10{\frac {\mathrm {ft} ^{2}}{\mathrm {s} }}\right)^{2}}{2\left(32.2{\frac {\mathrm {ft} }{\mathrm {s} ^{2}}}\right)(5.0\,\mathrm {ft} )^{2}}}=5.06\,\mathrm {ft} }$

${\displaystyle E_{2}=y_{2}+{\frac {q^{2}}{2gy_{2}^{2}}}=0.59\,\mathrm {ft} +{\frac {\left(10{\frac {\mathrm {ft} ^{2}}{\mathrm {s} }}\right)^{2}}{2\left(32.2{\frac {\mathrm {ft} }{\mathrm {s} ^{2}}}\right)(0.59\,\mathrm {ft} )^{2}}}=5.06\,\mathrm {ft} }$

Por lo tanto, se conserva la energía.${\displaystyle E_{1}=E_{2}=5.06\,\mathrm {ft} }$

Referencias

1. MH Chaudhry, flujo de canal abierto. Nueva York: Springer, 2008.
2. EJ Finnemore y JB Franzini, Mecánica de fluidos con aplicaciones de ingeniería. Nueva York: McGraw-Hill, 2002.
3. Moglen, GE (2010) Lecture notes from CEE 4324/5984: Open Channel Flow, Virginia Tech < https://web.archive.org/web/20121105134341/http://filebox.vt.edu/users/moglen/ocf /index.html >, 2 de septiembre de 2010.
4. Henderson, FM, 1966. Flujo de canal abierto, Prentice-Hall.
5. Moglen, Glenn E. Cuadro resumen de relaciones básicas de flujo de canal abierto. Virginia Tech CEE 4324/5984 Flujo de canal abierto. PDF.