Teorema de monge
En geometría , el teorema de Monge , llamado así por Gaspard Monge , establece que para cualesquiera tres círculos en un plano, ninguno de los cuales está completamente dentro de uno de los otros, los puntos de intersección de cada uno de los tres pares de rectas tangentes externas son colineales .
Para dos círculos cualesquiera en un plano, una tangente externa es una línea que es tangente a ambos círculos pero que no pasa entre ellos. Hay dos líneas tangentes externas para dos círculos cualesquiera. Cada uno de estos pares tiene un punto de intersección único en el plano euclidiano extendido . El teorema de Monge establece que los tres puntos dados por los tres pares de círculos siempre se encuentran en línea recta. En el caso de que dos de los círculos tengan el mismo tamaño, las dos rectas tangentes externas son paralelas. En este caso, el teorema de Monge afirma que los otros dos puntos de intersección deben estar en una línea paralela a esas dos tangentes externas. En otras palabras, si se considera que las dos tangentes externas se cruzan en el punto en el infinito, entonces los otros dos puntos de intersección deben estar en una línea que pasa por el mismo punto en el infinito, por lo que la línea entre ellos toma el mismo ángulo que la tangente externa.
Pruebas
La prueba más simple emplea una analogía tridimensional. [1] Supongamos que los tres círculos corresponden a tres esferas de diferentes radios; los círculos corresponden a los ecuadores que resultan de un plano que pasa por los centros de las esferas. Las tres esferas se pueden intercalar de forma única entre dos planos. Cada par de esferas define un cono que es externamente tangente a ambas esferas, y el vértice de este cono corresponde al punto de intersección de las dos tangentes externas, es decir, el centro homotético externo . Dado que una línea del cono se encuentra en cada plano, el vértice de cada cono debe estar en ambos planos y, por lo tanto, en algún lugar de la línea de intersección de los dos planos. Por tanto, los tres centros homotéticos externos son colineales.
El teorema de Monge también se puede demostrar utilizando el teorema de Desargues . Otra demostración fácil usa el teorema de Menelao , ya que las razones se pueden calcular con los diámetros de cada círculo, que serán eliminados por formas cíclicas al usar el teorema de Menelao. El teorema de Desargues también afirma que 3 puntos se encuentran en una línea y tiene una prueba similar usando la misma idea de considerarla en 3 en lugar de 2 dimensiones y escribir la línea como una intersección de 2 planos.
Ver también
- Centros homotéticos de círculos
- Problema de Apolonio , construye un círculo (no necesariamente único) dados otros tres círculos
Referencias
- ^ Wells, David (1991). El Diccionario Penguin de Geometría Curiosa e Interesante . Nueva York: Penguin Books. págs. 153-154 . ISBN 0-14-011813-6.
Bibliografía
- Graham, LA (1959). Problemas y métodos matemáticos ingeniosos . Nueva York: Dover. ISBN 0486205452. Consultado el 1 de diciembre de 2012 .
enlaces externos
