El teorema de Menelao , llamado así por Menelao de Alejandría , es una proposición sobre triángulos en geometría plana . Dado un triángulo ABC y una línea transversal que cruza BC , AC y AB en los puntos D , E y F respectivamente, con D , E y F distintos de A , B y C , entonces
o simplemente
Esta ecuación utiliza longitudes de segmentos con signo, en otras palabras, la longitud AB se toma como positiva o negativa según si A está a la izquierda o derecha de B en alguna orientación fija de la línea. Por ejemplo, AF / FB se define como un valor positivo cuando F está entre A y B y negativo en caso contrario.
Algunos autores organizan los factores de manera diferente y obtienen la relación aparentemente diferente [2]
pero como cada uno de estos factores es el inverso del factor correspondiente anterior, la relación parece ser la misma.
Lo contrario también es cierto: si los puntos D , E y F se eligen en BC , AC y AB, respectivamente, de modo que
entonces D , E y F son colineales . Lo contrario a menudo se incluye como parte del teorema.
El teorema es muy similar al teorema de Ceva en que sus ecuaciones difieren solo en el signo.
Prueba
Una prueba estándar es la siguiente: [3]
Primero, el signo del lado izquierdo será negativo ya que las tres razones son negativas, el caso en el que la línea DEF pasa por alto el triángulo (diagrama inferior), o una es negativa y las otras dos son positivas, el caso donde DEF cruza dos lados del triángulo. (Ver axioma de Pasch ).
Para comprobar la magnitud, perpendiculares construir a partir de A , B , y C a la línea de DEF y dejar que sus longitudes sean a, b, y c , respectivamente. Entonces por triángulos semejantes se sigue que | AF / FB | = | a / b |, | BD / DC | = | b / c |, y | CE / EA | = | c / a |. Entonces
Para una manera más sencilla, si menos simétrica para comprobar la magnitud, [4] dibujar CK paralela a AB donde DEF cumple CK en K . Luego por triángulos similares
y el resultado sigue eliminando CK de estas ecuaciones.
Lo contrario sigue como corolario. [5] Sean D , E y F en las líneas BC , AC y AB para que se mantenga la ecuación. Sea F ′ el punto donde DE cruza AB . Entonces, según el teorema, la ecuación también es válida para D , E y F ′. Comparando los dos,
Pero a lo sumo, un punto puede cortar un segmento en una proporción determinada, de modo que F = F ′.
Una prueba usando homotecias.
La siguiente demostración [6] usa solo nociones de geometría afín , en particular homotecias . Sea o no D , E y F son colineales, hay tres centros homothecies con D , E , F que envían respectivamente B a C , C a A , y A a B . La composición de los tres entonces es un elemento del grupo de homotecia-traslaciones que fija B , por lo que es una homotecia con centro B , posiblemente con razón 1 (en cuyo caso es la identidad). Esta composición fija la línea DE si y solo si F es colineal con D y E (ya que las dos primeras homotecias ciertamente fijan DE , y la tercera lo hace solo si F se encuentra en DE ). Por lo tanto , D , E y F son colineales si y solo si esta composición es la identidad, lo que significa que la magnitud del producto de las tres razones es 1:
que es equivalente a la ecuación dada.
Historia
No está claro quién descubrió realmente el teorema; sin embargo, la exposición más antigua que existe aparece en Esféricas de Menelao. En este libro, la versión plana del teorema se utiliza como lema para demostrar una versión esférica del teorema. [7]
En Almagest , Ptolomeo aplica el teorema a varios problemas de astronomía esférica. [8] Durante la Edad de Oro islámica , los eruditos musulmanes dedicaron una serie de trabajos que se dedicaron al estudio del teorema de Menelao, al que se refirieron como "la proposición sobre las secantes" ( shakl al-qatta ' ). El cuadrilátero completo se llamaba "figura de secantes" en su terminología. [8] El trabajo de Al-Biruni , Las claves de la astronomía , enumera varios de esos trabajos, que pueden clasificarse en estudios como parte de comentarios sobre el Almagesto de Ptolomeo, como en los trabajos de al-Nayrizi y al-Khazin, donde cada uno demostró casos particulares del teorema de Menelao que condujeron a la regla del seno , [9] o obras compuestas como tratados independientes como:
- El "Tratado sobre la figura de los secantes" ( Risala fi shakl al-qatta ' ) de Thabit ibn Qurra . [8]
- Husam al-DIn al-Salar , Quitando el velo de los misterios de la figura de los secantes (Kashf al-qina '' an asrar al-shakl al-qatta '), también conocido como "El libro sobre la figura de los secantes" ( Kitab al-shakl al-qatta ' ) o en Europa como Tratado sobre el cuadrilátero completo . Al-Tusi y Nasir al-Din al-Tusi se refirieron al tratado perdido . [8]
- Obra de al-Sijzi . [9]
- Tahdhib por Abu Nasr ibn Iraq . [9]
- Roshdi Rashed y Athanase Papadopoulos, Menelaus 'Spherics: Early Translation y la versión de al-Mahani' / al-Harawi (edición crítica de Menelaus 'Spherics de los manuscritos árabes, con comentarios históricos y matemáticos), De Gruyter, Serie: Scientia Graeco-Arabica , 21, 2017, 890 páginas. ISBN 978-3-11-057142-4
Referencias
- ^ Russel, pág. 6 .
- ^ Johnson, Roger A. (2007) [1927], Geometría euclidiana avanzada , Dover, p. 147, ISBN 978-0-486-46237-0
- ^ Sigue a Russel
- ^ Sigue Hopkins, George Irving (1902). "Art. 983". Geometría del plano inductivo . DC Heath & Co.
- ^ Sigue a Russel con cierta simplificación
- ^ Véase Michèle Audin, Géométrie, éditions BELIN, París 1998: indicación para el ejercicio 1.37, p. 273
- ^ Smith, DE (1958). Historia de las Matemáticas . II . Publicaciones de Courier Dover. pag. 607. ISBN 0-486-20430-8.
- ^ a b c d Rashed, Roshdi (1996). Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe . 2 . Londres: Routledge. pag. 483. ISBN 0-415-02063-8.
- ^ a b c Moussa, Ali (2011). "Métodos matemáticos en Almagest de Abū al-Wafāʾ y las determinaciones de Qibla". Ciencias y Filosofía Árabe . Prensa de la Universidad de Cambridge . 21 (1). doi : 10.1017 / S095742391000007X .
- Russell, John Wellesley (1905). "Cap. 1 §6" Teorema de Menelao " ". Geometría pura . Prensa de Clarendon.
enlaces externos
- Prueba alternativa del teorema de Menelao, de PlanetMath
- Menelao de Ceva
- Ceva y Menelao se encuentran en los caminos
- Menelaus y Ceva en MathPages
- Demostración del teorema de Menelao por Jay Warendorff. Proyecto de demostraciones Wolfram .
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Menelao" . MathWorld .