función monótona

En matemáticas , una función monótona (o función monótona ) es una función entre conjuntos ordenados que conserva o invierte el orden dado . ^{[1] [2] [3]} Este concepto surgió por primera vez en el cálculo y luego se generalizó al entorno más abstracto de la teoría del orden .

En cálculo , una función definida en un subconjunto de los números reales con valores reales se llama monótona si y solo si es completamente no creciente o completamente no decreciente. ^[2] Es decir, según la Fig. 1, una función que crece monótonamente no tiene que crecer exclusivamente, simplemente no debe decrecer.${\ estilo de visualización f}$

Una función se llama monótonamente creciente (también creciente o no decreciente ), ^[3] si para todo y tal que se tiene , así se conserva el orden (ver Figura 1). Asimismo, una función se llama monótonamente decreciente (también decreciente o no creciente ) ^[3] si, siempre que , entonces , por lo que invierte el orden (ver Figura 2).${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización y}$${\ estilo de visualización x \ leq y}$${\displaystyle f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización x \ leq y}$${\displaystyle f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)}$

Si el orden en la definición de monotonicidad se reemplaza por el orden estricto , entonces se obtiene un requisito más fuerte. Una función con esta propiedad se llama estrictamente creciente (también creciente ). ^{[3] [4]} Nuevamente, al invertir el símbolo de orden, se encuentra un concepto correspondiente llamado estrictamente decreciente (también decreciente ). ^{[3] [4]} Una función puede llamarse estrictamente monótona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Las funciones que son estrictamente monótonas son uno a uno (porque para no es igual a , ya sea o${\ estilo de visualización \ leq}$${\ estilo de visualización <}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización y}$${\ estilo de visualización x <y}$${\ estilo de visualización x> y}$y así, por monotonicidad, ya sea o , así .)${\displaystyle f\!\left(x\right)<f\!\left(y\right)}$${\displaystyle f\!\left(x\right)>f\!\left(y\right)}$${\displaystyle f\!\left(x\right)\neq f\!\left(y\right)}$

Si no está claro que "creciente" y "decreciente" incluyen la posibilidad de repetir el mismo valor en argumentos sucesivos, se pueden usar los términos débilmente monótono , débilmente creciente y débilmente decreciente para enfatizar esta posibilidad.

Los términos "no decreciente" y "no creciente" no deben confundirse con las calificaciones negativas (mucho más débiles) "no decreciente" y "no creciente". Por ejemplo, la función de la figura 3 primero cae, luego sube y luego vuelve a caer. Por lo tanto, no es decreciente ni creciente, pero no es ni decreciente ni decreciente.

Figura 1. Una función monótonamente no decreciente.

Figura 2. Una función monótonamente no creciente

Figura 3. Una función que no es monótona

Función monótona con un conjunto denso de discontinuidades de salto (se muestran varias secciones)

Con la función no monótona "si a, entonces tanto b como c ", los nodos falsos aparecen sobre los nodos verdaderos .

Diagrama de Hasse de la función monótona "al menos dos de a , b , c se mantienen". Los colores indican los valores de salida de la función.