Función monotónica

En matemáticas , una función monótona (o función monótona ) es una función entre conjuntos ordenados que conserva o invierte el orden dado . ^{[1] [2] [3]} Este concepto surgió por primera vez en cálculo y luego se generalizó al contexto más abstracto de la teoría del orden .

En cálculo , una función definida en un subconjunto de los números reales con valores reales se llama monótona si y solo si es completamente no creciente o completamente no decreciente. ^[2] Es decir, según la Fig. 1, una función que aumenta monótonamente no tiene que aumentar exclusivamente, simplemente no debe disminuir.${\ Displaystyle f}$

Una función se llama monotónicamente creciente (también creciente o no decreciente ), ^[3] si es para todos y tal que uno tiene , por lo que conserva el orden (ver Figura 1). Asimismo, una función se denomina monótonamente decreciente (también decreciente o no creciente ) ^[3] si, siempre que , entonces , invierte el orden (ver Figura 2).${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x \ leq y}$${\ Displaystyle f \! \ left (x \ right) \ leq f \! \ left (y \ right)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x \ leq y}$${\ Displaystyle f \! \ left (x \ right) \ geq f \! \ left (y \ right)}$

Si el orden en la definición de monotonicidad se reemplaza por el orden estricto , se obtiene un requisito más fuerte. Una función con esta propiedad se llama estrictamente creciente (también creciente ). ^{[3] [4]} Nuevamente, al invertir el símbolo de orden, uno encuentra un concepto correspondiente llamado estrictamente decreciente (también decreciente ). ^{[3] [4]} Una función puede llamarse estrictamente monótona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Las funciones que son estrictamente monótonas son uno a uno (porque para no es igual a , ya sea o${\ Displaystyle \ leq}$${\ Displaystyle <}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x <y}$${\ Displaystyle x> y}$y así, por monotonicidad, ya sea o , así .)${\ Displaystyle f \! \ left (x \ right) <f \! \ left (y \ right)}$${\ Displaystyle f \! \ left (x \ right)> f \! \ left (y \ right)}$${\ Displaystyle f \! \ left (x \ right) \ neq f \! \ left (y \ right)}$

Si no está claro que se considera que "aumentar" y "disminuir" incluyen la posibilidad de repetir el mismo valor en argumentos sucesivos, se pueden usar los términos débilmente monótono , débilmente creciente y débilmente decreciente para enfatizar esta posibilidad.

Los términos "no decreciente" y "no creciente" no deben confundirse con las calificaciones negativas (mucho más débiles) de "no disminuir" y "no aumentar". Por ejemplo, la función de la figura 3 primero cae, luego aumenta y luego cae nuevamente. Por lo tanto, no disminuye ni aumenta, pero no disminuye ni aumenta.

Figura 1. Una función monótona no decreciente.

Figura 2. Una función monótona no creciente

Figura 3. Una función que no es monótona

Con la función no monótona "si un entonces ambos b y c ", falsos nodos aparecen arriba verdaderos nodos.

Diagrama de Hasse de la función monótona "al menos dos de a , b , c se mantienen". Los colores indican los valores de salida de la función.