En matemáticas, la conjetura de correlación de pares de Montgomery es una conjetura hecha por Hugh Montgomery ( 1973 ) de que la correlación de pares entre pares de ceros de la función zeta de Riemann (normalizada para tener un espaciado promedio unitario) es
que, como le señaló Freeman Dyson , es lo mismo que la función de correlación de pares de matrices hermitianas aleatorias .
Conjetura
Bajo el supuesto de que la Hipótesis de Riemann es cierta.
Dejar ser arreglado, como
y contamos .
Explicación
De manera informal, esto significa que la probabilidad de encontrar un cero en un intervalo muy corto de longitud 2π L / log ( T ) a una distancia de 2π u / log ( T ) de un cero 1/2 + iT es aproximadamente L veces la expresión anterior . (El factor 2π / log ( T ) es un factor de normalización que se puede considerar informalmente como el espaciado promedio entre ceros con una parte imaginaria sobre T. ) Andrew Odlyzko ( 1987 ) mostró que la conjetura estaba respaldada por cálculos computarizados a gran escala de los ceros. La conjetura se ha extendido a correlaciones de más de 2 ceros, y también a funciones zeta de representaciones automórficas ( Rudnick y Sarnak 1996 ). En 1982, un estudiante de Montgomery, Ali Erhan Özlük, demostró la conjetura de correlación de pares para algunas de las funciones L de Dirichlet. AE Ozluk ( 1982 )
La conexión con matrices unitarias aleatorias podría conducir a una prueba de la hipótesis de Riemann . La conjetura de Hilbert-Pólya afirma que los ceros de la función Zeta de Riemann corresponden a los valores propios de un operador lineal e implica RH. Algunas personas piensan que este es un enfoque prometedor ( Andrew Odlyzko ( 1987 )).
Montgomery estaba estudiando la transformada de Fourier F ( x ) de la función de correlación de pares y mostró (asumiendo la hipótesis de Riemann) que era igual a | x | para | x | <1. Sus métodos no pudieron determinarlo por | x | ≥1, pero conjeturó que era igual a 1 para estos x , lo que implica que la función de correlación de pares es la anterior. También estaba motivado por la noción de que la hipótesis de Riemann no es una pared de ladrillos, y uno debe sentirse libre para hacer conjeturas más fuertes .
Cálculo numérico de Odlyzko
En la década de 1980, motivado por la conjetura de Montgomery, Odlyzko inició un estudio numérico intensivo de las estadísticas de los ceros de ζ (s). Confirmó que la distribución de los espacios entre ceros no triviales utilizando cálculos numéricos detallados y demostró que la conjetura de Montgomery sería cierta y que la distribución estaría de acuerdo con la distribución de los espacios de los valores propios de la matriz aleatoria GUE utilizando Cray X-MP . En 1987 informó de los cálculos en el artículo Andrew Odlyzko ( 1987 ).
Para cero no trivial, 1/2 + iγ n , sean los espaciamientos normalizados
Entonces esperaríamos la siguiente fórmula como límite para :
Basado en un nuevo algoritmo desarrollado por Odlyzko y Schönhage que les permitió calcular un valor de ζ (1/2 + it) en un tiempo promedio de t ε pasos, Odlyzko calculó millones de ceros en alturas alrededor de 10 20 y dio alguna evidencia de la conjetura de GUE. [1] [2]
La figura contiene los primeros 10 5 ceros no triviales de la función zeta de Riemann. A medida que se muestrean más ceros, más se aproxima su distribución a la forma de la matriz aleatoria GUE.
Ver también
Referencias
- Ozluk, AE (1982), Correlación de pares de ceros de funciones L de Dirichlet , Tesis doctoral, Ann Arbor: Univ. de Michigan, MR 2632180
- Katz, Nicholas M .; Sarnak, Peter (1999), "Ceros de funciones zeta y simetría", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 36 (1): 1–26, doi : 10.1090 / S0273-0979-99-00766-1 , ISSN 0002-9904 , MR 1640151
- Montgomery, Hugh L. (1973), "La correlación de pares de ceros de la función zeta", Teoría analítica de números , Proc. Simpos. Pure Math., XXIV , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 181-193, MR 0337821
- Odlyzko, AM (1987), "Sobre la distribución de espacios entre ceros de la función zeta", Mathematics of Computation , 48 (177): 273-308, doi : 10.2307 / 2007890 , ISSN 0025-5718 , JSTOR 2007890 , MR 0866115
- Rudnick, Zeév; Sarnak, Peter (1996), "Ceros de funciones L principales y teoría de matrices aleatorias", Duke Mathematical Journal , 81 (2): 269–322, doi : 10.1215 / S0012-7094-96-08115-6 , ISSN 0012- 7094 , MR 1395406