En matemáticas , la conjetura de Hilbert-Pólya establece que los ceros no triviales de la función zeta de Riemann corresponden a valores propios de un operador autoadjunto . Es un posible acercamiento a la hipótesis de Riemann , mediante la teoría espectral .
Historia
En una carta a Andrew Odlyzko , fechada el 3 de enero de 1982, George Pólya dijo que mientras estaba en Gotinga alrededor de 1912 a 1914 Edmund Landau le preguntó por una razón física que la hipótesis de Riemann debería ser cierta, y sugirió que esto sería correcto. el caso si las partes imaginarias t de los ceros
de la función zeta de Riemann correspondía a valores propios de un operador autoadjunto . [1] La primera declaración publicada de la conjetura parece estar en Montgomery (1973) . [1] [2]
David Hilbert no trabajó en las áreas centrales de la teoría analítica de números , pero su nombre se ha hecho conocido por la conjetura de Hilbert-Pólya debido a una historia contada por Ernst Hellinger , un alumno de Hilbert, a André Weil . Hellinger dijo que Hilbert anunció en su seminario a principios de la década de 1900 que esperaba que la Hipótesis de Riemann fuera una consecuencia del trabajo de Fredholm sobre ecuaciones integrales con un núcleo simétrico. [3] [4] [5] [6]
1950 y la fórmula de trazas de Selberg
En el momento de la conversación de Pólya con Landau, había pocas bases para tal especulación. Sin embargo, Selberg a principios de la década de 1950 demostró una dualidad entre el espectro de longitud de una superficie de Riemann y los valores propios de su laplaciana . Esta denominada fórmula de trazas de Selberg guardaba un parecido sorprendente con las fórmulas explícitas , lo que daba credibilidad a la conjetura de Hilbert-Pólya.
1970 y matrices aleatorias
Hugh Montgomery investigó y encontró que la distribución estadística de los ceros en la línea crítica tiene cierta propiedad, ahora llamada conjetura de correlación de pares de Montgomery . Los ceros tienden a no agruparse demasiado juntos, sino a repeler. [2] Durante su visita al Instituto de Estudios Avanzados en 1972, mostró este resultado a Freeman Dyson , uno de los fundadores de la teoría de matrices aleatorias .
Dyson vio que la distribución estadística encontrada por Montgomery parecía ser la misma que la distribución de correlación de pares para los valores propios de una matriz hermitiana aleatoria . Estas distribuciones son importantes en física: los estados propios de un hamiltoniano , por ejemplo, los niveles de energía de un núcleo atómico , satisfacen tales estadísticas. El trabajo posterior ha confirmado firmemente la conexión entre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann y los valores propios de una matriz hermitiana aleatoria extraída del conjunto unitario gaussiano , y ahora se cree que ambos obedecen a las mismas estadísticas. Por tanto, la conjetura de Hilbert-Pólya tiene ahora una base más sólida, aunque todavía no ha conducido a una prueba de la hipótesis de Riemann. [7]
Desarrollos posteriores
En 1998, Alain Connes formuló una fórmula de trazas que en realidad es equivalente a la hipótesis de Riemann . Esto fortaleció la analogía con la fórmula de la traza de Selberg hasta el punto en que da declaraciones precisas. Da una interpretación geométrica de la fórmula explícita de la teoría de números como una fórmula de trazas en la geometría no conmutativa de las clases de Adele . [8]
Posible conexión con la mecánica cuántica
Pólya dio una posible conexión del operador de Hilbert-Pólya con la mecánica cuántica . El operador de conjetura de Hilbert-Pólya tiene la forma dónde es el hamiltoniano de una partícula de masa que se mueve bajo la influencia de un potencial . La conjetura de Riemann es equivalente a la afirmación de que el hamiltoniano es hermitiano , o equivalentemente que es real.
Usando la teoría de la perturbación de primer orden, la energía del n eigenstado se relaciona con el valor esperado del potencial:
dónde y son los autovalores y autoestados de la partícula libre hamiltoniana. Esta ecuación puede tomarse como una ecuación integral de Fredholm de primer tipo , con las energías. Tales ecuaciones integrales pueden resolverse por medio del kernel resolutivo , de modo que el potencial puede escribirse como
dónde es el núcleo resolutivo, es una constante real y
dónde es la función delta de Dirac , y la son las raíces "no triviales" de la función zeta .
Michael Berry y Jonathan Keating han especulado que el hamiltoniano H es en realidad una cuantificación del clásico hamiltoniano xp , donde p es el momento canónico asociado con x [9] El operador hermitiano más simple correspondiente a xp es
Este refinamiento de la conjetura de Hilbert-Pólya se conoce como la conjetura de Berry (o la conjetura de Berry-Keating ). A partir de 2008, todavía está bastante lejos de ser concreto, ya que no está claro en qué espacio debe actuar este operador para obtener la dinámica correcta, ni cómo regularizarlo para obtener las correcciones logarítmicas esperadas. Berry y Keating han conjeturado que dado que este operador es invariante bajo dilataciones, quizás la condición de frontera f ( nx ) = f ( x ) para el entero n puede ayudar a obtener los resultados asintóticos correctos válidos para n grandes
- [10]
En marzo de 2017 se publicó un artículo, escrito por Carl M. Bender , Dorje C. Brody y Markus P. Müller , [11] que se basa en el enfoque de Berry al problema. Allí el operador
se introdujo, que afirman que satisface ciertas versiones modificadas de las condiciones de la conjetura de Hilbert-Pólya. Jean Bellisard ha criticado este artículo, [12] y los autores han respondido con aclaraciones. [13] Además, Frederick Moxley ha abordado el problema con una ecuación de Schrödinger . [14]
Referencias
- ↑ a b Odlyzko, Andrew , Correspondencia sobre los orígenes de la conjetura de Hilbert-Polya.
- ^ a b Montgomery, Hugh L. (1973), "La correlación de pares de ceros de la función zeta", Teoría analítica de números , Proc. Simpos. Pure Math., XXIV , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 181-193, MR 0337821.
- ^ Broughan, K. (2017), Equivalentes de la hipótesis de Riemann Volumen 2: Equivalentes analíticos , p. 192, ISBN 978-1107197121
- ^ Dieudonne, J. (1981), Historia del análisis funcional , p. 106, ISBN 978-0444861481
- ^ Endres, S .; Steiner, F. (2009), El operador de Berry-Keating en L 2 (R > , dx) y en gráficos cuánticos compactos con realizaciones generales autoadjuntas , p. 37
- ^ Simon, B. (2015), Operator Theory: A Comprehensive Course in Analysis, Parte 4 , p. 42, ISBN 978-1-4704-1103-9
- ^ Rudnick, Zeev; Sarnak, Peter (1996), "Zeros of Principales L-functions and Random Matrix Theory" , Duke Journal of Mathematics , 81 (2): 269–322, doi : 10.1215 / s0012-7094-96-08115-6.
- ^ Connes, Alain (1999). "Fórmula de rastreo en geometría no conmutativa y los ceros de la función zeta de Riemann". Selecta Mathematica . 5 . arXiv : matemáticas / 9811068 . doi : 10.1007 / s000290050042 ..
- ^ Berry, Michael V .; Keating, Jonathan P. (1999a), "H = xp y los ceros de Riemann", en Keating, Jonathan P .; Khmelnitski, David E .; Lerner, Igor V. (eds.), Fórmulas de supersimetría y rastreo: caos y desorden (PDF) , Nueva York: Plenum, págs. 355–367, ISBN 978-0-306-45933-7.
- ^ Berry, Michael V .; Keating, Jonathan P. (1999b), "Los ceros de Riemann y los asintóticos de valores propios" (PDF) , Revisión de SIAM , 41 (2): 236–266, Bibcode : 1999SIAMR..41..236B , doi : 10.1137 / s0036144598347497.
- ^ Bender, Carl M .; Brody, Dorje C .; Müller, Markus P. (2017), "Hamiltoniano para los ceros de la función Zeta de Riemann", Physical Review Letters , 118 (13): 130201, arXiv : 1608.03679 , Bibcode : 2017PhRvL.118m0201B , doi : 10.1103 / PhysRevLett.118.130201 , PMID 28409977.
- ^ Belissard, Jean (2017), "Comentario sobre" Hamiltoniano para los ceros de la función Zeta de Riemann " ", arXiv : 1704.02644 [ quant-ph ]
- ^ Bender, Carl M .; Brody, Dorje C .; Müller, Markus P. (2017), "Comment on 'Comment on" Hamiltoniano para los ceros de la función zeta de Riemann " ' ", arXiv : 1705.06767 [ quant-ph ].
- ^ Moxley, Frederick (2017). "Una ecuación de Schrödinger para resolver la conjetura de Bender-Brody-Müller". Actas de la conferencia AIP. 1905 : 030024. Código bibliográfico : 2017AIPC.1905c0024M . doi : 10.1063 / 1.5012170 . Cite journal requiere
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( ayuda )
Otras lecturas
- Aneva, B. (1999), "Symmetry of the Riemann operator" (PDF) , Physics Letters B , 450 (4): 388–396, arXiv : 0804.1618 , Bibcode : 1999PhLB..450..388A , doi : 10.1016 / s0370-2693 (99) 00172-0.
- Elizalde, Emilio (1994), Técnicas de regularización Zeta con aplicaciones , World Scientific, ISBN 978-981-02-1441-8. Aquí el autor explica en qué sentido se relaciona el problema de Hilbert-Polya con el problema de la fórmula de la traza de Gutzwiller y cuál sería el valor de la suma asumido las partes imaginarias de los ceros.