En álgebra , una curva de Mordell es una curva elíptica de la forma y 2 = x 3 + n , donde n es un número entero fijo distinto de cero . [1]
Estas curvas fueron estudiadas de cerca por Louis Mordell , [2] desde el punto de vista de determinar sus puntos enteros. Mostró que cada curva de Mordell contiene solo un número finito de puntos enteros ( x , y ). En otras palabras, las diferencias de cuadrados perfectos y cubos perfectos tienden a ∞. La cuestión de qué tan rápido se resolvió en principio con el método de Baker . Hipotéticamente, este tema es tratado por la conjetura de Marshall Hall .
Propiedades
Si ( x , y ) es un punto entero en una curva de Mordell, entonces también lo es ( x , -y ).
Hay ciertos valores de n para los cuales la curva de Mordell correspondiente no tiene soluciones enteras; [1] estos valores son:
- 6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... (secuencia A054504 en la OEIS ).
- -3, -5, -6, -9, -10, -12, -14, -16, -17, -21, -22, ... (secuencia A081121 en la OEIS ).
En 1998, J. Gebel, A. Pethö, HG Zimmer encontraron todos los puntos enteros para 0 <| n | ≤ 10 4 . [3] [4]
En 2015, MA Bennett y A. Ghadermarzi calcularon puntos enteros para 0 <| n | ≤ 10 7 . [5]
Ejemplo
Fermat demostró que las únicas soluciones enteras de están .
Referencias
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Curva de Mordell" . MathWorld .
- ^ Louis Mordell (1969). Ecuaciones diofánticas .
- ^ Gebel, J .; Pethö, A .; Zimmer, HG (1998). "Sobre la ecuación de Mordell" . Compositio Mathematica . 110 (3): 335–367. doi : 10.1023 / A: 1000281602647 .
- ^ Secuencias OEIS : A081119 y OEIS : A081120 .
- ^ MA Bennett, A. Ghadermarzi (2015). "Ecuación de Mordell: un enfoque clásico" (PDF) . Revista LMS de Computación y Matemáticas . 18 : 633–646. arXiv : 1311.7077 . doi : 10.1112 / S1461157015000182 .