En aritmética y álgebra , el cubo de un número n es su tercera potencia , es decir, el resultado de multiplicar tres instancias de n juntas. El cubo de un número o cualquier otra expresión matemática se indica con un superíndice 3, por ejemplo 2 3 = 8 o ( x + 1) 3 .
El cubo también es el número multiplicado por su cuadrado :
- n 3 = norte × norte 2 = norte × norte × norte .
La función del cubo es la función x ↦ x 3 (a menudo denotada y = x 3 ) que asigna un número a su cubo. Es una función extraña , ya que
- (- n ) 3 = - ( n 3 ) .
El volumen de un cubo geométrico es el cubo de la longitud de su lado, lo que da lugar al nombre. La operación inversa que consiste en encontrar un número cuyo cubo es n se llama extraer la raíz cúbica de n . Determina el lado del cubo de un volumen dado. También se n elevado a la potencia de un tercio.
La gráfica de la función del cubo se conoce como parábola cúbica . Debido a que la función del cubo es una función impar, esta curva tiene un centro de simetría en el origen, pero no tiene un eje de simetría .
En enteros
Un número de cubo , o un cubo perfecto , o algunas veces simplemente un cubo , es un número que es el cubo de un entero . Los cubos perfectos hasta 60 3 son (secuencia A000578 en la OEIS ):
0 3 = | 0 | ||||||||||
1 3 = | 1 | 11 3 = | 1331 | 21 3 = | 9261 | 31 3 = | 29,791 | 41 3 = | 68,921 | 51 3 = | 132.651 |
2 3 = | 8 | 12 3 = | 1728 | 22 3 = | 10,648 | 32 3 = | 32,768 | 42 3 = | 74,088 | 52 3 = | 140,608 |
3 3 = | 27 | 13 3 = | 2197 | 23 3 = | 12,167 | 33 3 = | 35,937 | 43 3 = | 79.507 | 53 3 = | 148,877 |
4 3 = | 64 | 14 3 = | 2744 | 24 3 = | 13,824 | 34 3 = | 39.304 | 44 3 = | 85,184 | 54 3 = | 157,464 |
5 3 = | 125 | 15 3 = | 3375 | 25 3 = | 15,625 | 35 3 = | 42,875 | 45 3 = | 91,125 | 55 3 = | 166,375 |
6 3 = | 216 | 16 3 = | 4096 | 26 3 = | 17,576 | 36 3 = | 46,656 | 46 3 = | 97,336 | 56 3 = | 175,616 |
7 3 = | 343 | 17 3 = | 4913 | 27 3 = | 19.683 | 37 3 = | 50,653 | 47 3 = | 103,823 | 57 3 = | 185,193 |
8 3 = | 512 | 18 3 = | 5832 | 28 3 = | 21.952 | 38 3 = | 54.872 | 48 3 = | 110,592 | 58 3 = | 195,112 |
9 3 = | 729 | 19 3 = | 6859 | 29 3 = | 24,389 | 39 3 = | 59,319 | 49 3 = | 117,649 | 59 3 = | 205,379 |
10 3 = | 1000 | 20 3 = | 8000 | 30 3 = | 27.000 | 40 3 = | 64.000 | 50 3 = | 125 000 | 60 3 = | 216 000 |
Geométricamente hablando, un entero positivo m es un cubo perfecto si y solo si se pueden organizar m cubos de unidades sólidas en un cubo sólido más grande. Por ejemplo, se pueden organizar 27 cubos pequeños en uno más grande con la apariencia de un cubo de Rubik , ya que 3 × 3 × 3 = 27 .
La diferencia entre los cubos de números enteros consecutivos se puede expresar de la siguiente manera:
- norte 3 - ( norte - 1) 3 = 3 ( norte - 1) norte + 1 .
o
- ( n + 1) 3 - n 3 = 3 ( n + 1) n + 1 .
No hay un cubo perfecto mínimo, ya que el cubo de un entero negativo es negativo. Por ejemplo, (−4) × (−4) × (−4) = −64 .
Base diez
A diferencia de los cuadrados perfectos , los cubos perfectos no tienen una pequeña cantidad de posibilidades para los dos últimos dígitos. A excepción de los cubos divisibles por 5, donde solo 25 , 75 y 00 pueden ser los dos últimos dígitos, cualquier par de dígitos con el último dígito impar puede aparecer como los últimos dígitos de un cubo perfecto. Con incluso cubos, hay una considerable restricción, por sólo 00 , o 2 , e 4 , o 6 y correo 8 pueden ser los dos últimos dígitos de un cubo perfecto (donde O representa cualquier dígito impar y correo para cualquier dígito par). Algunos números cúbicos también son números cuadrados; por ejemplo, 64 es un número cuadrado (8 × 8) y un número cúbico (4 × 4 × 4) . Esto sucede si y solo si el número es una sexta potencia perfecta (en este caso, 2 6 ).
Los últimos dígitos de cada tercer poder son:
0 | 1 | 8 | 7 | 4 | 5 | 6 | 3 | 2 | 9 |
Sin embargo, es fácil demostrar que la mayoría de los números no son cubos perfectos porque todos los cubos perfectos deben tener la raíz digital 1 , 8 o 9 . Es decir, sus valores módulo 9 pueden ser solo -1, 1 y 0. Además, la raíz digital del cubo de cualquier número se puede determinar por el resto que da el número cuando se divide por 3:
- Si el número x es divisible por 3, su cubo tiene raíz digital 9; es decir,
- Si tiene un resto de 1 cuando se divide por 3, su cubo tiene raíz digital 1; es decir,
- Si tiene un resto de 2 cuando se divide por 3, su cubo tiene raíz digital 8; es decir,
El problema de Waring para los cubos
Cada entero positivo se puede escribir como la suma de nueve (o menos) cubos positivos. Este límite superior de nueve cubos no se puede reducir porque, por ejemplo, 23 no se puede escribir como la suma de menos de nueve cubos positivos:
- 23 = 2 3 + 2 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 .
Sumas de tres cubos
Se conjetura que todo entero (positivo o negativo) que no sea congruente con ± 4 módulo 9 se puede escribir como una suma de tres cubos (positivos o negativos) con infinitas formas. [1] Por ejemplo,. Los enteros congruentes con ± 4 módulo 9 se excluyen porque no se pueden escribir como la suma de tres cubos.
El entero más pequeño para el que no se conoce dicha suma es 114. En septiembre de 2019, se encontró que el entero más pequeño anterior sin una suma conocida de 3 cubos, 42, satisface esta ecuación: [2] [se necesita una mejor fuente ]
Una solucion para se da en la tabla siguiente para n ≤ 78 , y n no es congruente con 4 o 5 módulo 9 . La solución seleccionada es la que es primitiva ( mcd ( x , y , z ) = 1 ), no es de la forma o (dado que son familias infinitas de soluciones), satisface 0 ≤ | x | ≤ | y | ≤ | z | y tiene valores mínimos para | z | y | y | (probado en este orden). [3] [4] [5]
Solo se seleccionan las soluciones primitivas ya que las no primitivas se pueden deducir trivialmente de las soluciones para un valor menor de n . Por ejemplo, para n = 24 , la solución resultados de la solución multiplicando todo por Por lo tanto, esta es otra solución que se selecciona. De manera similar, para n = 48 , se excluye la solución ( x , y , z ) = (-2, -2, 4) , y esta es la solución ( x , y , z ) = (-23, -26, 31 ) que está seleccionado.
Soluciones primitivas para n de 1 a 100 | ||||||||
norte | X | y | z | norte | X | y | z | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 9 | 10 | −12 | 39 | 117 367 | 134 476 | −159 380 | |
2 | 1 214 928 | 3 480 205 | −3 528 875 | 42 | 12 602 123 297 335 631 | 80 435 758 145 817 515 | −80 538 738 812 075 974 | |
3 | 1 | 1 | 1 | 43 | 2 | 2 | 3 | |
6 | −1 | −1 | 2 | 44 | −5 | −7 | 8 | |
7 | 0 | −1 | 2 | 45 | 2 | −3 | 4 | |
8 | 9 | 15 | −16 | 46 | −2 | 3 | 3 | |
9 | 0 | 1 | 2 | 47 | 6 | 7 | −8 | |
10 | 1 | 1 | 2 | 48 | −23 | −26 | 31 | |
11 | −2 | −2 | 3 | 51 | 602 | 659 | −796 | |
12 | 7 | 10 | −11 | 52 | 23 961 292 454 | 60 702 901 317 | -61 922 712 865 | |
15 | −1 | 2 | 2 | 53 | −1 | 3 | 3 | |
dieciséis | −511 | −1609 | 1626 | 54 | −7 | −11 | 12 | |
17 | 1 | 2 | 2 | 55 | 1 | 3 | 3 | |
18 | −1 | −2 | 3 | 56 | −11 | −21 | 22 | |
19 | 0 | −2 | 3 | 57 | 1 | −2 | 4 | |
20 | 1 | −2 | 3 | 60 | −1 | −4 | 5 | |
21 | −11 | −14 | dieciséis | 61 | 0 | −4 | 5 | |
24 | -2 901 096 694 | −15 550 555 555 | 15 584 139 827 | 62 | 2 | 3 | 3 | |
25 | −1 | −1 | 3 | 63 | 0 | −1 | 4 | |
26 | 0 | −1 | 3 | 64 | −3 | −5 | 6 | |
27 | −4 | −5 | 6 | sesenta y cinco | 0 | 1 | 4 | |
28 | 0 | 1 | 3 | 66 | 1 | 1 | 4 | |
29 | 1 | 1 | 3 | 69 | 2 | −4 | 5 | |
30 | -283 059 965 | −2 218 888 517 | 2 220 422 932 | 70 | 11 | 20 | −21 | |
33 | -2 736 111 468 807 040 | -8 778 405 442 862 239 | 8 866 128 975 287 528 | 71 | −1 | 2 | 4 | |
34 | −1 | 2 | 3 | 72 | 7 | 9 | −10 | |
35 | 0 | 2 | 3 | 73 | 1 | 2 | 4 | |
36 | 1 | 2 | 3 | 74 | 66 229 832 190 556 | 283 450 105 697 727 | -284 650 292 555 885 | |
37 | 0 | −3 | 4 | 75 | 4 381 159 | 435 203 083 | −435 203 231 | |
38 | 1 | −3 | 4 | 78 | 26 | 53 | −55 |
El último teorema de Fermat para cubos
La ecuación x 3 + y 3 = z 3 no tiene soluciones no triviales (es decir, xyz ≠ 0 ) en números enteros. De hecho, no tiene ninguno en números enteros de Eisenstein . [6]
Ambas afirmaciones también son válidas para la ecuación [7] x 3 + y 3 = 3 z 3 .
Suma de los primeros n cubos
La suma de los primeros n cubos es el n- ésimo número de triángulo al cuadrado:
Pruebas. Charles Wheatstone ( 1854 ) da una derivación particularmente simple, al expandir cada cubo de la suma en un conjunto de números impares consecutivos. Comienza dando la identidad
Esa identidad está relacionada con los números triangulares. de la siguiente manera:
y así los sumandos que forman comenzar justo después de los que forman todos los valores anteriores hasta . Aplicando esta propiedad, junto con otra identidad conocida:
obtenemos la siguiente derivación:
En la literatura matemática más reciente, Stein (1971) utiliza la interpretación de recuento de rectángulos de estos números para formar una prueba geométrica de la identidad (ver también Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); observa que también puede demostrarse fácilmente (pero sin información) por inducción, y afirma que Toeplitz (1963) proporciona "una interesante prueba árabe antigua". Kanim (2004) proporciona una prueba puramente visual, Benjamin & Orrison (2002) proporcionar dos pruebas adicionales, y Nelsen (1993) da siete pruebas geométricas.
Por ejemplo, la suma de los primeros 5 cubos es el cuadrado del quinto número triangular,
Se puede dar un resultado similar para la suma de los primeros y cubos impares ,
pero x , y debe satisfacer la ecuación de Pell negativa x 2 - 2 y 2 = −1 . Por ejemplo, para y = 5 y 29 , entonces,
y así. Además, todo número perfecto par , excepto el más bajo, es la suma de los 2 primerosp −1 / 2
cubos impares ( p = 3, 5, 7, ...):
Suma de cubos de números en progresión aritmética
Hay ejemplos de cubos de números en progresión aritmética cuya suma es un cubo:
con el primero a veces identificado como el misterioso número de Platón . La fórmula F para encontrar la suma de n cubos de números en progresión aritmética con diferencia común d y cubo inicial a 3 ,
es dado por
Una solución paramétrica para
se conoce para el caso especial de d = 1 , o cubos consecutivos, pero solo se conocen soluciones esporádicas para el entero d > 1 , como d = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39, etc. [ 8]
Cubos como sumas de números enteros impares sucesivos
En la secuencia de los números enteros 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 impar, ..., la primera uno es un cubo ( 1 = 1 3 ); la suma de los dos siguientes es el siguiente cubo ( 3 + 5 = 2 3 ); la suma de los siguientes tres es el siguiente cubo ( 7 + 9 + 11 = 3 3 ); Etcétera.
En números racionales
Todo número racional positivo es la suma de tres cubos racionales positivos, [9] y hay racionales que no son la suma de dos cubos racionales. [10]
En números reales, otros campos y anillos
En números reales , la función cubo conserva el orden: los números más grandes tienen cubos más grandes. En otras palabras, los cubos aumentan (estrictamente) monótonamente . Además, su codominio es la línea real completa : la función x ↦ x 3 : R → R es una sobreyección (toma todos los valores posibles). Solo tres números son iguales a sus propios cubos: -1 , 0 y 1 . Si −1 < x <0 o 1 < x , entonces x 3 > x . Si x <−1 o 0 < x <1 , entonces x 3 < x . Todas las propiedades mencionadas anteriormente pertenecen también a cualquier potencia impar superior ( x 5 , x 7 , ...) de los números reales. Las igualdades y desigualdades también son verdaderas en cualquier anillo ordenado .
Los volúmenes de sólidos euclidianos similares se relacionan como cubos de sus tamaños lineales.
En números complejos , el cubo de un puramente imaginario número también es puramente imaginario. Por ejemplo, i 3 = - i .
La derivada de x 3 es igual a 3 x 2 .
Los cubos ocasionalmente tienen la propiedad sobreyectiva en otros campos , como en F p para tal primo p que p ≠ 1 (mod 3) , [11] pero no necesariamente: vea el contraejemplo con racionales arriba . También en F 7 solo tres elementos 0, ± 1 son cubos perfectos, de siete en total. −1, 0 y 1 son cubos perfectos en cualquier lugar y los únicos elementos de un campo iguales a los propios cubos: x 3 - x = x ( x - 1) ( x + 1) .
Historia
La determinación de cubos de grandes cantidades era muy común en muchas civilizaciones antiguas . Los matemáticos mesopotámicos crearon tablillas cuneiformes con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas en el período babilónico antiguo (siglos XX al XVI a. C.). [12] [13] Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por el antiguo matemático griego Diofanto . [14] Héroe de Alejandría ideó un método para calcular raíces cúbicas en el siglo I d. C. [15] Los métodos para resolver ecuaciones cúbicas y extraer raíces cúbicas aparecen en Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a. C. y comentado por Liu Hui en el siglo III d. C. [dieciséis]
Ver también
- Número de taxi
- Ecuación cúbica
- Doblar el cubo
- Conjetura de la suma de potencias de Euler
- Quinta potencia (álgebra)
- Cuarto poder
- Leyes de Kepler del movimiento planetario # Tercera ley
- Sillín de mono
- Poder perfecto
- Número de taxi
Notas
- ^ Huisman, Sander G. (27 de abril de 2016). "Nuevas sumas de tres cubos". arXiv : 1604.07746 [ math.NT ].
- ^ "NOTICIAS: El misterio del 42 se resuelve - Numberphile" https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw
- ^ Secuencias A060465 , A060466 y A060467 en OEIS
- ^ Tres cubos
- ^ n = x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3
- ^ Hardy y Wright, Thm. 227
- ^ Hardy y Wright, Thm. 232
- ^ "Una colección de identidades algebraicas" .[ enlace muerto permanente ]
- ^ Hardy y Wright, Thm. 234
- ^ Hardy y Wright, Thm. 233
- ^ El grupo multiplicativo de F p es cíclico de orden p - 1 , y si no es divisible por 3, los cubos definen un automorfismo de grupo .
- ^ Cooke, Roger (8 de noviembre de 2012). La Historia de las Matemáticas . John Wiley e hijos. pag. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
- ^ Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). La vida cotidiana en la antigua Mesopotamia . Grupo editorial de Greenwood. pag. 306 . ISBN 978-0-313-29497-6.
- ^ Van der Waerden, Geometría y álgebra de civilizaciones antiguas, capítulo 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
- ^ Smyly, J. Gilbart (1920). "Fórmula de Heron para la raíz cúbica". Hermathena . Trinity College de Dublín. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103 .
- ^ Crossley, John; WC. Lun, Anthony (1999). Los nueve capítulos sobre el arte matemático: compañero y comentario . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.
Referencias
- Hardy, GH ; Wright, EM (1980). Introducción a la teoría de los números (Quinta ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-853171-5.
- Wheatstone, C. (1854), "Sobre la formación de poderes a partir de progresiones aritméticas", Actas de la Royal Society of London , 7 : 145-151, Bibcode : 1854RSPS .... 7..145W , doi : 10.1098 / rspl .1854.0036.