En matemáticas , la conjetura de Hall es una pregunta abierta, a partir de 2015 [actualizar], sobre las diferencias entre cuadrados perfectos y cubos perfectos . Afirma que un cuadrado perfecto y 2 y un cubo perfecto x 3 que no son iguales deben estar a una distancia sustancial entre sí. Esta pregunta surgió al considerar la ecuación de Mordell en la teoría de puntos enteros en curvas elípticas .
La versión original de la conjetura de Hall, formulado por Marshall Hall, Jr. en 1970, dice que no es una constante positiva C tal que para cualquier números enteros x e y para el cual y 2 ≠ x 3 ,
Hall sugirió que quizás C podría tomarse como 1/5, lo que era consistente con todos los datos conocidos en el momento en que se propuso la conjetura. Danilov demostró en 1982 que el exponente 1/2 en el lado derecho (es decir, el uso de | x | 1/2 ) no puede ser reemplazado por ninguna potencia mayor: para ningún δ> 0 hay una constante C tal que | y 2 - x 3 | > C | x | 1/2 + δ siempre que y 2 ≠ x 3 .
En 1965, Davenport demostró ser un análogo de la conjetura anterior en el caso de los polinomios: si f ( t ) yg ( t ) son polinomios distintos de cero sobre C , de manera que g ( t ) 3 ≠ f ( t ) 2 en C [ t ] , luego
La forma débil de la conjetura de Hall, enunciada por Stark y Trotter alrededor de 1980, reemplaza la raíz cuadrada en el lado derecho de la desigualdad por cualquier exponente menor que 1/2: para cualquier ε > 0, hay una constante c (ε) dependiendo en ε tal que para cualquier números enteros x e y para el cual y 2 ≠ x 3 ,
La forma original, fuerte , de la conjetura con exponente 1/2 nunca ha sido refutada, aunque ya no se cree que sea cierta y el término conjetura de Hall ahora generalmente significa la versión con la ε en ella. Por ejemplo, en 1998, Noam Elkies encontró el ejemplo
447884928428402042307918 2 - 5853886516781223 3 = -1641843,
para lo cual la compatibilidad con la conjetura de Hall requeriría que C sea menor que .0214 ≈ 1/50, por lo que aproximadamente 10 veces más pequeño que la elección original de 1/5 que sugirió Hall.
La forma débil de la conjetura de Hall se seguiría de la conjetura de ABC . [1] Una generalización a otros poderes perfectos es la conjetura de Pillai .
La siguiente tabla muestra los casos conocidos con . Tenga en cuenta que y se puede calcular como el número entero más cercano a x 3/2 .
# | X | r | |
---|---|---|---|
1 | 2 | 1,41 | |
2 | 5234 | 4.26 | [a] |
3 | 8158 | 3,76 | [a] |
4 | 93844 | 1.03 | [a] |
5 | 367806 | 2,93 | [a] |
6 | 421351 | 1.05 | [a] |
7 | 720114 | 3,77 | [a] |
8 | 939787 | 3,16 | [a] |
9 | 28187351 | 4.87 | [a] |
10 | 110781386 | 1,23 | [a] |
11 | 154319269 | 1.08 | [a] |
12 | 384242766 | 1,34 | [a] |
13 | 390620082 | 1,33 | [a] |
14 | 3790689201 | 2,20 | [a] |
15 | 65589428378 | 2.19 | [B] |
dieciséis | 952764389446 | 1,15 | [B] |
17 | 12438517260105 | 1,27 | [B] |
18 | 35495694227489 | 1,15 | [B] |
19 | 53197086958290 | 1,66 | [B] |
20 | 5853886516781223 | 46,60 | [B] |
21 | 12813608766102806 | 1,30 | [B] |
22 | 23415546067124892 | 1,46 | [B] |
23 | 38115991067861271 | 6,50 | [B] |
24 | 322001299796379844 | 1.04 | [B] |
25 | 471477085999389882 | 1,38 | [B] |
26 | 810574762403977064 | 4.66 | [B] |
27 | 9870884617163518770 | 1,90 | [C] |
28 | 42532374580189966073 | 3,47 | [C] |
29 | 51698891432429706382 | 1,75 | [C] |
30 | 44648329463517920535 | 1,79 | [C] |
31 | 231411667627225650649 | 3,71 | [C] |
32 | 601724682280310364065 | 1,88 | [C] |
33 | 4996798823245299750533 | 2.17 | [C] |
34 | 5592930378182848874404 | 1,38 | [C] |
35 | 14038790674256691230847 | 1,27 | [C] |
36 | 77148032713960680268604 | 10.18 | [D] |
37 | 180179004295105849668818 | 5,65 | [D] |
38 | 372193377967238474960883 | 1,33 | [C] |
39 | 664947779818324205678136 | 16.53 | [C] |
40 | 2028871373185892500636155 | 1,14 | [D] |
41 | 10747835083471081268825856 | 1,35 | [C] |
42 | 37223900078734215181946587 | 1,38 | [C] |
43 | 69586951610485633367491417 | 1,22 | [mi] |
44 | 3690445383173227306376634720 | 1,51 | [C] |
45 | 133545763574262054617147641349 | 1,69 | [mi] |
46 | 162921297743817207342396140787 | 10,65 | [mi] |
47 | 374192690896219210878121645171 | 2,97 | [mi] |
48 | 401844774500818781164623821177 | 1,29 | [mi] |
49 | 500859224588646106403669009291 | 1.06 | [mi] |
50 | 1114592308630995805123571151844 | 1.04 | [F] |
51 | 39739590925054773507790363346813 | 3,75 | [mi] |
52 | 862611143810724763613366116643858 | 1,10 | [mi] |
53 | 1062521751024771376590062279975859 | 1.006 | [mi] |
54 | 6078673043126084065007902175846955 | 1.03 | [C] |
- ^ a b c d e f g h i j k l m J. Gebel, A. Pethö y HG Zimmer.
- ^ a b c d e f g h i j k l Noam D. Elkies.
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o I. Jiménez Calvo, J. Herranz y G. Sáez.
- ^ a b c Johan Bosman (utilizando el software de JHS).
- ^ a b c d e f g h i S. Aanderaa, L. Kristiansen y HK Ruud.
- ^ LV Danilov. El ítem 50 pertenece a la secuencia infinita encontrada por Danilov.
Referencias
- ^ Schmidt, Wolfgang M. (1996). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Apuntes de clase en matemáticas. 1467 (2ª ed.). Springer-Verlag . págs. 205–206. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020 .
- Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag . D9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 .
- Hall, Jr., Marshall (1971). "La ecuación diofántica x 3 - y 2 = k ". En Atkin, AOL ; Birch, BJ (eds.). Computadoras en teoría de números . págs. 173–198. ISBN 0-12-065750-3. Zbl 0225.10012 .
- Elkies, ND "Puntos racionales cerca de curvas y pequeños distintos de cero | 'x 3 - y 2 ' | mediante reducción de celosía", http://arxiv.org/abs/math/0005139
- Danilov, LV, "La ecuación diofántica 'x 3 - y 2 ' '= k' y la conjetura de Hall", 'Matemáticas. Notas Acad. Sci. URSS' 32 (1982), 617-618.
- Gebel, J., Pethö, A. y Zimmer, HG: "Sobre la ecuación de Mordell", 'Compositio Math.' 110 (1998), 335-367.
- I. Jiménez Calvo, J. Herranz y G. Sáez Moreno, "Un nuevo algoritmo para buscar valores pequeños distintos de cero | 'x3 - y2' |", 'Math. Comp. ' 78 (2009), págs. 2435-2444.
- S. Aanderaa, L. Kristiansen y HK Ruud, "Busque buenos ejemplos de la conjetura de Hall", 'Math. Comp. ' 87 (2018), 2903-2914.
enlaces externos
- una página sobre el problema de Noam Elkies