Desigualdad de Sobolev

En matemáticas , hay en el análisis matemático una clase de desigualdades de Sobolev , que relacionan normas que incluyen las de los espacios de Sobolev . Estos se utilizan para probar el teorema de incrustación de Sobolev , que proporciona inclusiones entre ciertos espacios de Sobolev , y el teorema de Rellich-Kondrachov que muestra que, en condiciones ligeramente más fuertes, algunos espacios de Sobolev están incrustados de forma compacta en otros. Llevan el nombre de Sergei Lvovich Sobolev .

Sea W ^{k, p} ( R ⁿ ) el espacio de Sobolev que consta de todas las funciones de valor real en R ⁿ cuyas primeras k derivadas débiles son funciones en L ^p . Aquí k es un número entero no negativo y 1 ≤ p <∞ . La primera parte de la Sobolev incrustación teorema afirma que si k > ℓ , p < n y 1 ≤ p < q <∞ son dos números reales tales que

Este caso especial de la incrustación de Sobolev es una consecuencia directa de la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev . El resultado debe interpretarse en el sentido de que si una función en tiene una derivada en , entonces ella misma tiene un comportamiento local mejorado, lo que significa que pertenece al espacio donde . (Tenga en cuenta que , de modo que .) Por lo tanto, cualquier singularidad local en debe ser más suave que para una función típica en .${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ Displaystyle L ^ {p}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle L ^ {p ^ {*}}}$${\ Displaystyle p ^ {*}> p}$${\ Displaystyle 1 / p ^ {*} <1 / p}$${\ Displaystyle p ^ {*}> p}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle L ^ {p}}$

La segunda parte del teorema de incrustación de Sobolev se aplica a incrustaciones en espacios de Hölder C ^{r, α} ( R ⁿ ) . Si n < pk y

Esta parte de la incrustación de Sobolev es una consecuencia directa de la desigualdad de Morrey . Intuitivamente, esta inclusión expresa el hecho de que la existencia de suficientes derivadas débiles implica cierta continuidad de las derivadas clásicas. Si entonces para todos .${\ Displaystyle \ alpha = 1}$${\ Displaystyle W ^ {k, p} (\ mathbf {R} ^ {n}) \ subconjunto C ^ {r, \ gamma} (\ mathbf {R} ^ {n})}$${\ Displaystyle \ gamma \ in (0,1)}$

Representación gráfica de las condiciones de incrustación. El espacio W ^{3, p} , representado por un punto azul en el punto (1 / p , 3) , se incrusta en los espacios indicados por puntos rojos, todos ubicados en una línea con pendiente n . El círculo blanco en (0,0) indica la imposibilidad de incrustaciones óptimas en L ^∞ .

Si la línea de la imagen de arriba se cruza con el eje y en s = r + α , la incrustación en un espacio de Hölder C ^{r, α} (rojo) se mantiene. Los círculos blancos indican puntos de intersección en los que las incrustaciones óptimas no son válidas.