En matemáticas , una derivada débil es una generalización del concepto de la derivada de una función ( derivada fuerte ) para funciones que no se suponen diferenciables , sino solo integrables , es decir, que se encuentran en el espacio L p (ver distribuciones para una definición más general). La derivada débil se define esencialmente por los requisitos del método de integración por partes .
Definición
La técnica de integración por partes sostiene que para funciones diferenciables y tenemos
La noción de derivada débil se define esencialmente por el requisito de que esta ecuación debe ser válida para todas las funciones infinitamente diferenciables que son iguales a cero en ambos límites de la integral. Formalmente, dejaser una función en el espacio de Lebesgue . Nosotros decimos eso en es una derivada débil de Si
para todas las funciones infinitamente diferenciables con .
Generalizando a dimensiones, si y están en el espacio de funciones integrables localmente para algunos conjuntos abiertos , y si es un índice múltiple , decimos que es el -derivada débil de Si
para todos , es decir, para todas las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto en. Aquí Se define como
Si tiene una derivada débil, a menudo se escribe dado que las derivadas débiles son únicas (al menos, hasta un conjunto de medida cero , ver más abajo).
Ejemplos de
- El valor absoluto función, que no es diferenciable en tiene una derivada débil conocida como la función de signo , y dado por
- Esta no es la única derivada débil de u : cualquier w que sea igual av casi en todas partes también es una derivada débil de u . (En particular, la definición de v (0) anterior es superflua y se puede reemplazar con cualquier número real deseado r.) Por lo general, esto no es un problema, ya que en la teoría de espacios L p y espacios de Sobolev , funciones que son iguales casi en todas partes se identifican.
- La función característica de los números racionalesno es diferenciable en ninguna parte, pero tiene una derivada débil. Dado que la medida de Lebesgue de los números racionales es cero,
- Por lo tanto es la derivada débil de . Tenga en cuenta que esto está de acuerdo con nuestra intuición, ya que cuando se considera como miembro de un espacio Lp, se identifica con la función cero.
- La función de Cantor c no tiene una derivada débil, a pesar de ser diferenciable en casi todas partes. Esto se debe a que cualquier derivada débil de c tendría que ser igual en casi todas partes a la derivada clásica de c , que es cero en casi todas partes. Pero la función cero no es una derivada débil de c , como se puede ver comparando con una función de prueba apropiada. Más teóricamente, c no tiene una derivada débil porque su derivada distributiva , es decir, la distribución de Cantor , es una medida singular y, por lo tanto, no puede representarse mediante una función.
Propiedades
Si dos funciones son derivadas débiles de la misma función, son iguales excepto en un conjunto con medida de Lebesgue cero, es decir, son iguales en casi todas partes . Si consideramos clases de equivalencia de funciones tales que dos funciones son equivalentes si son iguales en casi todas partes, entonces la derivada débil es única.
Además, si u es diferenciable en el sentido convencional, entonces su derivada débil es idéntica (en el sentido dado anteriormente) a su derivada convencional (fuerte). Por tanto, la derivada débil es una generalización de la fuerte. Además, las reglas clásicas para derivadas de sumas y productos de funciones también son válidas para la derivada débil.
Extensiones
Este concepto da lugar a la definición de soluciones débiles en espacios de Sobolev , que son útiles para problemas de ecuaciones diferenciales y en análisis funcional .
Ver también
Referencias
- Gilbarg, D .; Trudinger, N. (2001). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Berlín: Springer. pag. 149 . ISBN 3-540-41160-7.
- Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 242 . ISBN 0-8218-0772-2.
- Knabner, Peter; Angermann, Lutz (2003). Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas . Nueva York: Springer. pag. 53 . ISBN 0-387-95449-X.