En matemáticas , el teorema de Rellich-Kondrachov es un teorema de incrustación compacto relativo a los espacios de Sobolev . Lleva el nombre del matemático austriaco-alemán Franz Rellich y del matemático ruso Vladimir Iosifovich Kondrashov . Rellich demostró el teorema de L 2 y Kondrashov el teorema de L p .
Declaración del teorema
Sea Ω ⊆ R n un dominio de Lipschitz abierto y acotado , y sea 1 ≤ p < n . Colocar
A continuación, el espacio de Sobolev W 1, p (Ω; R ) está incrustado de forma continua en el L p espacio L p * (Ω; R ) y está incrustado de forma compacta en L q (Ω; R ) por cada 1 ≤ q < p * . En símbolos,
y
Teorema de incrustación de Kondrachov
En una variedad compacta con límite C 1 , el teorema de incrustación de Kondrachov establece que si k > ℓ y k - n / p > ℓ - n / q entonces la incrustación de Sobolev
es completamente continuo (compacto). [1]
Consecuencias
Dado que una incrustación es compacta si y solo si el operador de inclusión (identidad) es un operador compacto , el teorema de Rellich-Kondrachov implica que cualquier secuencia unida uniformemente en W 1, p (Ω; R ) tiene una subsecuencia que converge en L q ( Ω; R ). Expresado de esta forma, en el pasado, el resultado a veces se denominaba teorema de selección de Rellich-Kondrachov , ya que uno "selecciona" una subsecuencia convergente. (Sin embargo, hoy en día el nombre habitual es "teorema de compacidad", mientras que "teorema de selección" tiene un significado preciso y bastante diferente, refiriéndose a multifunciones ).
El teorema de Rellich-Kondrachov puede usarse para demostrar la desigualdad de Poincaré , [2] que establece que para u ∈ W 1, p (Ω; R ) (donde Ω satisface las mismas hipótesis que antes),
para alguna constante C que depende solo de py la geometría del dominio Ω, donde
denota el valor medio de u sobre Ω.
Referencias
Literatura
- Evans, Lawrence C. (2010). Ecuaciones diferenciales parciales (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4974-3.
- Kondrachov, VI, Sobre ciertas propiedades de las funciones en el espacio L p .Dokl. Akad. Nauk SSSR 48, 563–566 (1945).
- Leoni, Giovanni (2009). Un primer curso en espacios de Sobolev . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 105 . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. xvi + 607. ISBN 978-0-8218-4768-8 . Señor 2527916 . Zbl 1180.46001
- Rellich, Franz (24 de enero de 1930). "Ein Satz über mittlere Konvergenz" . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (en alemán). 1930 : 30–35. JFM 56.0224.02 .