En matemáticas , el lema de Morse-Palais es el resultado del cálculo de variaciones y la teoría de los espacios de Hilbert . En términos generales, establece que una función suficientemente suave cerca de un punto crítico se puede expresar como una forma cuadrática después de un cambio adecuado de coordenadas.
El lema de Morse-Palais fue probado originalmente en el caso de dimensión finita por el matemático estadounidense Marston Morse , utilizando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt . Este resultado juega un papel crucial en la teoría Morse . La generalización a los espacios de Hilbert se debe a Richard Palais y Stephen Smale .
Declaración del lema
Sea ( H , <,>) sea un verdadero espacio de Hilbert, y dejar que T sea un entorno abierto de 0 en H . Sea f : U → R una función ( k + 2) -veces continuamente diferenciable con k ≥ 1, es decir, f ∈ C k +2 ( U ; R ). Suponga que f (0) = 0 y que 0 es un punto crítico no degenerado de f , es decir, la segunda derivada D 2 f (0) define un isomorfismo de H con su espacio dual continuo H ∗ por
Entonces existe un subbarrio V de 0 en U , un difeomorfismo φ : V → V que es C k con C k inversa, y un operador simétrico invertible A : H → H , tal que
para todos los x ∈ V .
Corolario
Deje f : U → R sea C k 2 tal que 0 es un punto crítico no degenerado. Entonces existe un C k -con- C k -difeomorfismo inverso ψ : V → V y una descomposición ortogonal
tal que, si uno escribe
luego
para todos los x ∈ V .
Referencias
- Lang, Serge (1972). Colectores diferenciales . Reading, Mass. – Londres – Don Mills, Ontario: Addison – Wesley Publishing Co., Inc.