En matemáticas , específicamente en topología diferencial , la teoría de Morse permite analizar la topología de una variedad mediante el estudio de funciones diferenciables en esa variedad. De acuerdo con las ideas básicas de Marston Morse , una función diferenciable típica en una variedad reflejará la topología de manera bastante directa. La teoría de Morse permite encontrar estructuras CW y manejar descomposiciones en variedades y obtener información sustancial sobre su homología .
Antes de Morse, Arthur Cayley y James Clerk Maxwell habían desarrollado algunas de las ideas de la teoría Morse en el contexto de la topografía . Morse aplicó originalmente su teoría a las geodésicas ( puntos críticos de la energía funcional en los caminos). Estas técnicas se utilizaron en la prueba de Raoul Bott de su teorema de periodicidad .
El análogo de la teoría de Morse para variedades complejas es la teoría de Picard-Lefschetz .
Conceptos básicos
Consideremos, a título ilustrativo, un paisaje montañoso M . Si f es la función enviar cada punto a su elevación, luego la imagen inversa de un punto enes una línea de contorno (más generalmente, un conjunto de niveles ). Cada componente conectado de una línea de contorno es un punto, una curva cerrada simple o una curva cerrada con un punto doble . Las curvas de nivel también pueden tener puntos de orden superior (puntos triples, etc.), pero estos son inestables y pueden ser eliminados por una ligera deformación del paisaje. Los puntos dobles en las curvas de nivel se producen en los puntos de silla o pases. Los puntos de silla son puntos donde el paisaje circundante se curva hacia arriba en una dirección y hacia abajo en la otra.
Imagínese inundar este paisaje con agua. Entonces, la región cubierta por agua cuando el agua alcanza una elevación de a es, o los puntos con elevación menor o igual a a . Considere cómo cambia la topología de esta región a medida que sube el agua. Parece, de manera intuitiva, que no cambia excepto cuando una pasa la altura de un punto crítico ; es decir, un punto donde el gradiente de f es 0 (es decir, la matriz jacobiana que actúa como un mapa lineal desde el espacio tangente en ese punto hasta el espacio tangente en su imagen debajo del mapa f no tiene rango máximo). En otras palabras, no cambia excepto cuando el agua (1) comienza a llenar una cuenca, (2) cubre una silla de montar (un paso de montaña ) o (3) sumerge un pico.
A cada uno de estos tres tipos de puntos críticos - cuencas, pasos y picos (también llamados mínimos, monturas y máximos) - se asocia un número llamado índice. Hablando intuitivamente, el índice de un punto crítico b es el número de direcciones independientes alrededor de b en las que f disminuye. Más precisamente, el índice de un punto crítico no degenerado b de f es la dimensión del subespacio más grande del espacio tangente a M en b en el que el hessiano de f es definido negativo. Por lo tanto, los índices de cuencas, pasadas y picos son 0, 1 y 2, respectivamente.
Definir como . Dejando el contexto de la topografía, se puede hacer un análisis similar de cómo la topología decambia como a aumenta cuando M es un toro orientado como en la imagen yf es una proyección sobre un eje vertical, tomando un punto a su altura sobre el plano.
A partir de la parte inferior de los torus, dejar que p , q , r , y s ser los cuatro puntos críticos de índice 0, 1, 1, y 2, respectivamente. Cuando a es menor que f ( p ) = 0, entonceses el conjunto vacío. Después de que a pasa el nivel de p , cuando, luego es un disco , que es homotopía equivalente a un punto (una celda 0), que se ha "unido" al conjunto vacío. Luego, cuando a excede el nivel de q , y, luego es un cilindro, y es homotopia equivalente a un disco con una celda adjunta (imagen de la izquierda). Una vez que a pasa el nivel de r , y f ( r ) < a < f ( s ), entonces M a es un toro al que se le quitó un disco, que es homotopía equivalente a un cilindro con una celda de 1 adjunta (imagen a la derecha) . Finalmente, cuando a es mayor que el nivel crítico de s ,es un toro. Un toro, por supuesto, es lo mismo que un toro con un disco extraído con un disco (de 2 celdas) adjunto.
Por lo tanto, parece tener la siguiente regla: la topología de no cambia excepto cuando pasa la altura de un punto crítico, y cuando pasa la altura de un punto crítico de índice , a -célula está unida a . Esto no aborda la cuestión de qué sucede cuando dos puntos críticos están a la misma altura. Esa situación puede resolverse mediante una ligera perturbación de f . En el caso de un paisaje (o una variedad incrustada en el espacio euclidiano ), esta perturbación podría simplemente estar inclinando ligeramente el paisaje o rotando el sistema de coordenadas.
Hay que tener cuidado y verificar la no degeneración de los puntos críticos. Para ver qué puede plantear un problema, sea M = R y sea f ( x ) = x 3 . Entonces 0 es un punto crítico de f , pero la topología deno cambia cuando α pasa a 0. El problema es que la segunda derivada de f también es 0 en 0, es decir, el hessiano de f desaparece y este punto crítico está degenerado. Tenga en cuenta que esta situación es inestable: al deformar ligeramente f , el punto crítico degenerado se elimina o se divide en dos puntos críticos no degenerados.
Desarrollo formal
Para una función suave de valor real f : M → R en una variedad diferenciable M , los puntos donde el diferencial de f desaparece se denominan puntos críticos de f y sus imágenes bajo f se denominan valores críticos . Si en un punto crítico b , la matriz de las segundas derivadas parciales (la matriz de Hesse ) no es singular, entonces b se denomina punto crítico no degenerado ; si el hessiano es singular, entonces b es un punto crítico degenerado .
Para las funciones
de R a R , f tiene un punto crítico en el origen si b = 0, que es no degenerado si c ≠ 0 (es decir, f es de la forma a + cx 2 + ...) y degenerado si c = 0 ( es decir, f tiene la forma a + dx 3 + ...). Un ejemplo menos trivial de un punto crítico degenerado es el origen de la montura del mono .
El índice de un punto crítico no degenerado b de f es la dimensión del subespacio más grande del espacio tangente a M en b en el que el hessiano es definido negativo . Esto corresponde a la noción intuitiva de que el índice es el número de direcciones en las que f disminuye. La degeneración y el índice de un punto crítico son independientes de la elección del sistema de coordenadas local utilizado, como lo muestra la Ley de Sylvester .
Lema morse
Deje que b sea un punto crítico no degenerado de f : M → R . Entonces existe una gráfica ( x 1 , x 2 , ..., x n ) en una vecindad U de b tal quepor todo yo y
a lo largo de T . Aquíes igual al índice de f en b . Como corolario del lema Morse, se ve que los puntos críticos no degenerados están aislados . (Con respecto a una extensión al dominio complejo, consulte el lema Morse complejo . Para una generalización, consulte el lema Morse-Palais ).
Teoremas fundamentales
Una función uniforme de valor real en una variedad M es una función Morse si no tiene puntos críticos degenerados. Un resultado básico de la teoría Morse dice que casi todas las funciones son funciones Morse. Técnicamente, las funciones Morse forman un subconjunto denso y abierto de todas las funciones suaves M → R en la topología C 2 . Esto a veces se expresa como "una función típica es Morse" o "una función genérica es Morse".
Como se indicó anteriormente, nos interesa la cuestión de cuándo cambia la topología de M a = f −1 (−∞, a ] a medida que a varía. La mitad de la respuesta a esta pregunta viene dada por el siguiente teorema.
- Teorema. Supongamos que f es una función real suave en M , un < b , f -1 [ un , b ] es compacto , y no hay valores críticos entre una y b . Entonces M a es difeomórfico de M b , y la deformación M b se retrae sobre M a .
También es interesante conocer cómo cambia la topología de M a cuando a pasa por un punto crítico. El siguiente teorema responde a esa pregunta.
- Teorema. Suponga que f es una función uniforme de valor real en M y p es un punto crítico no degenerado de f del índice γ, y que f ( p ) = q . Suponga que f −1 [ q - ε, q + ε] es compacto y no contiene puntos críticos además de p . Entonces M q + ε es homotopía equivalente a M q −ε con una célula γ unida.
Estos resultados generalizan y formalizan la 'regla' expuesta en el apartado anterior.
Usando los dos resultados anteriores y el hecho de que existe una función Morse en cualquier variedad diferenciable, se puede probar que cualquier variedad diferenciable es un complejo CW con una celda n para cada punto crítico de índice n . Para hacer esto, se necesita el hecho técnico de que se puede hacer arreglos para tener un solo punto crítico en cada nivel crítico, lo que generalmente se prueba mediante el uso de campos vectoriales similares a gradientes para reorganizar los puntos críticos.
Desigualdades Morse
La teoría de Morse se puede utilizar para probar algunos resultados sólidos sobre la homología de variedades. El número de puntos críticos del índice γ de f : M → R es igual al número de células γ en la estructura CW en M obtenidas de "trepar" f . Usando el hecho de que la suma alterna de los rangos de los grupos de homología de un espacio topológico es igual a la suma alterna de los rangos de los grupos de cadenas a partir de los cuales se calcula la homología, luego usando los grupos de cadenas celulares (ver homología celular ) está claro que la característica de Euler es igual a la suma
donde C γ es el número de puntos críticos del índice γ. También por homología celular, el rango de la n º grupo de homología de un complejo CW M es menor o igual al número de n -Cells en M . Por lo tanto, el rango del grupo de homología γ- ésimo , es decir, el número de Betti , Es menor que o igual al número de puntos críticos de índice γ de una función de Morse en M . Estos hechos se pueden fortalecer para obtener las desigualdades de Morse :
En particular, para cualquier
uno tiene
Esto proporciona una poderosa herramienta para estudiar múltiples topologías. Suponga que en una variedad cerrada existe una función Morse f : M → R con precisamente k puntos críticos. ¿De qué manera la existencia de la función f restringe M ? El caso k = 2 fue estudiado por Georges Reeb en 1952; el teorema de la esfera de Reeb establece que M es homeomorfo a una esfera. El caso k = 3 es posible sólo en un pequeño número de dimensiones bajas, y M es homeomórfico a una variedad de Eells-Kuiper . En 1982, Edward Witten desarrolló un enfoque analítico de las desigualdades de Morse considerando el complejo de De Rham para el operador perturbado.[1] [2]
Aplicación a la clasificación de 2 colectores cerrados
La teoría de Morse se ha utilizado para clasificar 2 variedades cerradas hasta difeomorfismo. Si M está orientado, entonces M se clasifica por su género gy es difeomorfo a una esfera con g asas: así, si g = 0, M es difeomorfo a la 2-esfera; y si g > 0, M es difeomórfico a la suma conectada de g 2-tori. Si N es desorientable, se clasifica con un número g > 0 y es difeomórfico a la suma conectada de g espacios proyectivos reales RP 2 . En particular, dos variedades 2 cerradas son homeomórficas si y solo si son difeomórficas. [3] [4] [5]
Homología Morse
La homología de Morse es una forma particularmente fácil de comprender la homología de variedades suaves . Se define mediante una elección genérica de función Morse y métrica de Riemann . El teorema básico es que la homología resultante es una invariante de la variedad (es decir, independiente de la función y la métrica) e isomorfa a la homología singular de la variedad; esto implica que los números Morse y Betti singular concuerdan y da una prueba inmediata de las desigualdades Morse. Un análogo de dimensión infinita de la homología de Morse en geometría simpléctica se conoce como homología de Floer .
Teoría de Morse-Bott
La noción de función Morse se puede generalizar para considerar funciones que tienen variedades no degeneradas de puntos críticos. Una función Morse-Bott es una función suave en un colector cuyo conjunto crítico es un sub colector cerrado y cuyo hessiano no está degenerado en la dirección normal. (De manera equivalente, el núcleo de la hessiana en un punto crítico es igual al espacio tangente a la subvariedad crítica.) Una función Morse es el caso especial donde las variedades críticas son de dimensión cero (por lo que la hessiana en los puntos críticos no es degenerada en todos los casos). dirección, es decir, no tiene núcleo).
El índice se considera más naturalmente como un par
dónde es la dimensión de la variedad inestable en un punto dado de la variedad crítica, y es igual a más la dimensión de la variedad crítica. Si la función Morse-Bott es perturbada por una pequeña función en el locus crítico, el índice de todos los puntos críticos de la función perturbada en una variedad crítica de la función no perturbada estará entre y .
Las funciones Morse-Bott son útiles porque es difícil trabajar con funciones Morse genéricas; las funciones que se pueden visualizar, y con las que se pueden calcular fácilmente, suelen tener simetrías. A menudo conducen a variedades críticas de dimensión positiva. Raoul Bott usó la teoría de Morse-Bott en su demostración original del teorema de periodicidad de Bott .
Las funciones redondas son ejemplos de funciones Morse-Bott, donde los conjuntos críticos son (uniones disjuntas de) círculos.
La homología Morse también se puede formular para funciones Morse-Bott; el diferencial en la homología de Morse-Bott se calcula mediante una secuencia espectral . Frederic Bourgeois esbozó un enfoque en el curso de su trabajo sobre una versión Morse-Bott de la teoría simpléctica del campo, pero este trabajo nunca se publicó debido a dificultades analíticas sustanciales.
Ver también
- Teoría mínima-máxima de Almgren-Pitts
- Teoría de Morse digital
- Teoría de Morse discreta
- Conjunto Jacobi
- Grassmanniano lagrangiano
- Categoría Lusternik – Schnirelmann
- Sistema Morse-Smale
- Teorema del paso de montaña
- Lema de Sard
- Teoría de Morse estratificada
Referencias
- ^ Witten, Edward (1982). "Supersimetría y teoría Morse" . J. Geom diferencial. 17 (4): 661–692. doi : 10.4310 / jdg / 1214437492 .
- ^ Roe, John (1998). Operadores elípticos, topología y método asintótico . Pitman Research Notes in Mathematics Series. 395 (2ª ed.). Longman. ISBN 0582325021.
- ^ Smale 1994se necesita cita completa ] [
- ^ Gauld, David B. (1982). Topología diferencial: una introducción . Monografías y libros de texto en matemática pura y aplicada. 72 . Marcel Dekker. ISBN 0824717090.
- ^ Shastri, Anant R. (2011). Elementos de topología diferencial . Prensa CRC. ISBN 9781439831601.
Otras lecturas
- Bott, Raoul (1988). "Teoría de Morse indomable" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 68 : 99-114. doi : 10.1007 / bf02698544 .
- Bott, Raoul (1982). "Conferencias sobre teoría Morse, antiguas y nuevas" . Boletín de la American Mathematical Society . (NS). 7 (2): 331–358. doi : 10.1090 / s0273-0979-1982-15038-8 .
- Cayley, Arthur (1859). "Sobre curvas de nivel y pendientes" (PDF) . La revista filosófica . 18 (120): 264–268.
- Invitado, Martin (2001). "Teoría Morse en la década de 1990". arXiv : matemáticas / 0104155 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - Hirsch, M. (1994). Topología diferencial (2ª ed.). Saltador.
- Matsumoto, Yukio (2002). Introducción a la teoría Morse .
- Maxwell, James Clerk (1870). "En colinas y valles" (PDF) . La revista filosófica . 40 (269): 421–427.
- Milnor, John (1963). Teoría Morse . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-08008-9. Una referencia clásica avanzada en matemáticas y física matemática.
- Milnor, John (1965). Conferencias sobre el teorema del h-cobordismo (PDF) .
- Morse, Marston (1934). El cálculo de variaciones en el grande . Publicación del coloquio de la American Mathematical Society. 18 . Nueva York.
- Schwarz, Matthias (1993). Homología Morse . Birkhäuser.