¿Cuál es el área mínima de una forma que puede cubrir todas las curvas de longitud unitaria?
El problema del gusano de Moser (también conocido como problema de la manta del gusano madre ) es un problema de geometría sin resolver formulado por el matemático austriaco-canadiense Leo Moser en 1966. El problema pide la región de área más pequeña que puede acomodar cada curva plana de longitud 1. Aquí "acomodar" significa que la curva se puede rotar y trasladar para encajar dentro de la región. En algunas variaciones del problema, la región está restringida a ser convexa .
Ejemplos de
Por ejemplo, un disco circular de radio 1/2 puede acomodar cualquier curva plana de longitud 1 colocando el punto medio de la curva en el centro del disco. Otra posible solución tiene la forma de un rombo con ángulos de vértice de 60 y 120 grados ( π / 3 y 2 π / 3 radianes ) y con una diagonal larga de longitud unitaria. [1] Sin embargo, estas no son soluciones óptimas; Se conocen otras formas que resuelven el problema con áreas más pequeñas.
Propiedades de la solución
No es del todo trivial que exista una solución; una posibilidad alternativa sería que haya un área mínima que se pueda abordar pero que en realidad no se alcance. Sin embargo, en el caso convexo, la existencia de una solución se deriva del teorema de selección de Blaschke . [2]
Tampoco es trivial determinar si una forma determinada forma una solución. Gerriets y Poole (1974) conjeturaron que una forma acomoda cada curva de longitud unitaria si y solo si acomoda cada cadena poligonal de longitud unitaria con tres segmentos, una condición más fácil de probar, pero Panraksa, Wetzel y Wichiramala (2007) mostraron que no Un límite finito en el número de segmentos en una policadena sería suficiente para esta prueba.
Límites conocidos
El problema permanece abierto, pero a lo largo de una serie de artículos, los investigadores han estrechado la brecha entre los límites superior e inferior conocidos. En particular, Norwood y Poole (2003) construyeron una cubierta universal (no convexa) y mostraron que la forma mínima tiene un área como máximo de 0.260437; Gerriets y Poole (1974) y Norwood, Poole y Laidacker (1992) dieron límites superiores más débiles. En el caso convexo, Wang (2006) mejoró un límite superior a 0.270911861. Khandhawit, Pagonakis & Sriswasdi (2013) utilizaron una estrategia mínima-máxima para el área de un conjunto convexo que contiene un segmento, un triángulo y un rectángulo para mostrar un límite inferior de 0,232239 para una cubierta convexa.
En la década de 1970, John Wetzel conjeturó que un sector circular de 30 grados de unidad de radio es una cubierta con área . Movshovich & Wetzel (2017) y Panraksa & Wichiramala (2019) afirmaron de forma independiente dos pruebas de la conjetura . Si lo confirma la revisión por pares, esto reducirá el límite superior de la cubierta convexa en aproximadamente un 3%.
Ver también
- Problema del sofá móvil , el problema de encontrar una forma de área máxima que se pueda girar y trasladar a través de un pasillo en forma de L
- Conjunto de Kakeya , un conjunto de área mínima que puede acomodar cada segmento de línea de longitud unitaria (con traslaciones permitidas, pero no rotaciones)
- El problema de cobertura universal de Lebesgue , encuentre el área convexa más pequeña que pueda cubrir cualquier conjunto plano de diámetro unitario
- Bellman está perdido en un problema forestal , encuentra el camino más corto para escapar de un bosque de tamaño y forma conocidos.
Notas
- ^ Gerriets y Poole (1974) .
- ↑ Norwood, Poole & Laidacker (1992) atribuyen esta observación a un manuscrito inédito de Laidacker y Poole, fechado en 1986.
Referencias
- Gerriets, John; Poole, George (1974), "Regiones convexas que cubren arcos de longitud constante", The American Mathematical Monthly , 81 (1): 36–41, doi : 10.2307 / 2318909 , JSTOR 2318909 , MR 0333991.
- Khandhawit, Tirasan; Pagonakis, Dimitrios; Sriswasdi, Sira (2013), "Lower Bound for Convex Hull Area and Universal Cover Problems", International Journal of Computational Geometry & Applications , 23 (3): 197–212, arXiv : 1101.5638 , doi : 10.1142 / S0218195913500076 , MR 3158583.
- Norwood, Rick ; Poole, George (2003), "Un límite superior mejorado para el problema del gusano de Leo Moser", Geometría discreta y computacional , 29 (3): 409–417, doi : 10.1007 / s00454-002-0774-3 , MR 1961007.
- Norwood, Rick ; Poole, George; Laidacker, Michael (1992), "El problema del gusano de Leo Moser", Geometría discreta y computacional , 7 (2): 153-162, doi : 10.1007 / BF02187832 , MR 1139077.
- Panraksa, Chatchawan; Wetzel, John E .; Wichiramala, Wacharin (2007), "Cubrir arcos unitarios de n segmentos no es suficiente", Geometría discreta y computacional , 37 (2): 297–299, doi : 10.1007 / s00454-006-1258-7 , MR 2295060.
- Wang, Wei (2006), "Un límite superior mejorado para el problema de los gusanos", Acta Mathematica Sinica , 49 (4): 835–846, MR 2264090.
- Panraksa, Chatchawan; Wichiramala, Wacharin (2019), "El sector de Wetzel cubre arcos unitarios", arXiv : 1907.07351 [ math.MG ].
- Movshovich, Yevgenya; Wetzel, John (2017), "Los arcos de la unidad drapeable encajan en el sector de la unidad de 30 °" , Advances in Geometry , 17 , doi : 10.1515 / advgeom-2017-0011.