El problema de cobertura universal de Lebesgue es un problema no resuelto en geometría que pide la forma convexa del área más pequeña que puede cubrir cualquier conjunto plano de diámetro uno. El diámetro de un conjunto, por definición, es el límite superior mínimo de las distancias entre todos los pares de puntos del conjunto. Una forma cubre un conjunto si contiene un subconjunto congruente. En otras palabras, el conjunto se puede rotar, trasladar o reflejar para encajar dentro de la forma.
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¿Cuál es el área mínima de una forma convexa que puede cubrir cada conjunto plano de diámetro uno?
El problema lo planteó Henri Lebesgue en una carta a Gyula Pál en 1914. Fue publicado en un artículo de Pál en 1920 junto con el análisis de Pál. [1] Demostró que una cubierta para todas las curvas de ancho constante uno es también una cubierta para todos los conjuntos de diámetro uno y que se puede construir una cubierta tomando un hexágono regular con un círculo inscrito de diámetro uno y quitando dos esquinas del hexágono para cubrir el área.
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Límites conocidos
En 1936, Roland Sprague demostró que una parte de la cubierta de Pál se podía quitar cerca de una de las otras esquinas mientras conservaba su propiedad como cubierta. [2] Esto redujo el límite superior del área a. En 1992, Hansen demostró que se podían eliminar dos regiones más muy pequeñas de la solución de Sprague, bajando el límite superior a. La construcción de Hansen fue la primera en hacer uso de la libertad de usar reflejos. [3] En 2015, John Baez , Karine Bagdasaryan y Philip Gibbs demostraron que si las esquinas eliminadas en la cubierta de Pál se cortan en un ángulo diferente, entonces es posible reducir aún más el área dando un límite superior de. [4] En octubre de 2018, Philip Gibbs publicó un artículo sobre arXiv usando geometría de escuela secundaria y afirmando una reducción adicional a 0.8440935944. [5] [6]
El límite inferior más conocido para el área fue proporcionado por Peter Brass y Mehrbod Sharifi utilizando una combinación de tres formas en una alineación óptima que da . [7]
Ver también
- Problema del gusano de Moser , ¿cuál es el área mínima de una forma que puede cubrir cada curva de longitud unitaria?
- Problema del sofá móvil , el problema de encontrar una forma de área máxima que se pueda girar y trasladar a través de un pasillo en forma de L
- Conjunto de Kakeya , un conjunto de área mínima que puede acomodar cada segmento de línea de longitud unitaria (con traslaciones permitidas, pero no rotaciones)
- Teorema de selección de Blaschke , que puede usarse para demostrar que el problema de cobertura universal de Lebesgue tiene solución.
Referencias
- ↑ Pál, J. (1920). " ' Über ein elementares Variationsproblem". Danske Mat.-Fys. Meddelelser III . 2 .
- ^ Sprague, R. (1936). "Über ein elementares Variationsproblem". Matematiska Tidsskrift Ser. B : 96–99. JSTOR 24530328 .
- ^ Hansen, HC (1992). "Cubiertas universales pequeñas para conjuntos de unidad de diámetro". Geometriae Dedicata . 42 : 205–213. doi : 10.1007 / BF00147549 . Señor 1163713 .
- ^ Báez, John C .; Bagdasaryan, Karine; Gibbs, Philip (2015). "El problema de la cobertura universal de Lebesgue". Revista de geometría computacional . 6 : 288–299. arXiv : 1502.01251 . doi : 10.20382 / jocg.v6i1a12 . Señor 3400942 .
- ^ Gibbs, Philip (23 de octubre de 2018). "Un límite superior para el problema de cobertura de Lebesgue". arXiv : 1810.10089 .
- ^ "Matemático aficionado encuentra la cubierta universal más pequeña" . Revista Quanta . Archivado desde el original el 14 de enero de 2019 . Consultado el 16 de noviembre de 2018 .
- ^ Latón, Peter; Sharifi, Mehrbod (2005). "Un límite inferior para el problema de cobertura universal de Lebesgue". Revista Internacional de Geometría y Aplicaciones Computacionales . 15 (5): 537–544. doi : 10.1142 / S0218195905001828 . Señor 2176049 .