Función zeta motívica

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En geometría algebraica , la función zeta motívica de una variedad algebraica suave es la serie de potencia formal${\ estilo de visualización X}$

Aquí está la -ésima potencia simétrica de , es decir, el cociente de por la acción del grupo simétrico , y es la clase de en el anillo de motivos (ver más abajo).${\ estilo de visualización X ^ {(n)}}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización X}$${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle [X^{(n)}]}$${\displaystyle X^{(n)}}$

Si el campo de tierra es finito y se aplica la medida de conteo a , se obtiene la función zeta local de .${\displaystyle Z(X,t)}$${\displaystyle X}$

Si el campo fundamental son los números complejos, y se aplica la característica de Euler con soportes compactos a , se obtiene .${\displaystyle Z(X,t)}$${\displaystyle 1/(1-t)^{\chi (X)}}$

Una medida motívica es un mapa del conjunto de esquemas de tipos finitos sobre un campo a un anillo conmutativo , que satisface las tres propiedades${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$

Por ejemplo, si es un campo finito y es el anillo de números enteros, entonces define una medida motívica, la medida de conteo .${\displaystyle k}$${\displaystyle A={\mathbb {Z} }}$${\displaystyle \mu (X)=\#(X(k))}$

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