Función zeta local

En teoría de números , la función zeta local Z ( V ,  s ) (a veces llamada función zeta congruente ) se define como

${\displaystyle Z(V,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{m}}(q^{-s})^{m}\right)}$

donde V es un no singular n -dimensional variedad algebraica proyectiva sobre el campo F _q con q elementos y N _m es el número de puntos de V define sobre el finito extensión campo F _{q ^m} de F _q . Haciendo la transformación variable u  =  q ^{- s} , da

${\displaystyle {\mathit {Z}}(V,u)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}{\frac {u^{m}}{m}}\right)}$

como la serie formal de potencias en la variable .${\displaystyle u}$

De manera equivalente, la función zeta local a veces se define de la siguiente manera:

${\displaystyle (1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,}$

${\displaystyle (2)\ \ {\frac {d}{du}}\log {\mathit {Z}}(V,u)=\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}u^{m-1}\ .}$

En otras palabras, la función zeta local Z ( V ,  u ) con coeficientes en el campo finito F _q se define como una función cuya derivada logarítmica genera el número N _m de soluciones de la ecuación que define V en el grado m extensión F _{q ^m} .

Formulación

Dado un campo finito F , hay, hasta el isomorfismo , solo un campo F _k con

${\displaystyle [F_{k}:F]=k\,}$,

para k = 1, 2, .... Dado un conjunto de ecuaciones polinomiales, o una variedad algebraica V , definida sobre F , podemos contar el número

${\displaystyle N_{k}\,}$

de soluciones en F _k y crea la función generadora

${\displaystyle G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\cdots \,}$.

La definición correcta de Z ( t ) es establecer log Z igual a G , por lo que

${\displaystyle Z=\exp(G(t))\,}$

y Z (0) = 1, ya que G (0) = 0, y Z ( t ) es a priori una serie de potencias formales .

La derivada logarítmica

${\displaystyle Z'(t)/Z(t)\,}$

es igual a la función generadora

${\displaystyle G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

Ejemplos de

Por ejemplo, suponga que todos los N _k son 1; esto sucede, por ejemplo, si partimos de una ecuación como X = 0, de modo que geométricamente estamos tomando V como un punto. Luego

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)}$

es la expansión de un logaritmo (para | t | <1). En este caso tenemos

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}\ .}$

Para tomar algo más interesante, deja que V sea la recta proyectiva sobre M . Si F tiene q elementos, entonces este tiene q + 1 puntos, incluyendo como debemos el único punto en el infinito . Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}$

y

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)}$

para | t | lo suficientemente pequeño, y por lo tanto

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\ .}$

El primer estudio de estas funciones fue en la disertación de 1923 de Emil Artin . Obtuvo resultados para el caso de una curva hiperelíptica y conjeturó los puntos principales adicionales de la teoría aplicada a las curvas. La teoría fue luego desarrollada por FK Schmidt y Helmut Hasse . ^[1] Los casos no triviales conocidos más tempranos de funciones zeta locales eran implícita en Carl Friedrich Gauss 's Disquisitiones Arithmeticae , el artículo 358. Allí, ciertos ejemplos particulares de curvas elípticas sobre campos finitos que tienen la multiplicación compleja tienen sus puntos contados por medio de ciclotomía .^[2]

Para la definición y algunos ejemplos, consulte también. ^[3]

Motivaciones

La relación entre las definiciones de G y Z se puede explicar de varias formas. (Véase, por ejemplo, la fórmula del producto infinito para Z a continuación.) En la práctica, hace que Z sea una función racional de t , algo que es interesante incluso en el caso de V una curva elíptica sobre un campo finito.

Son las funciones Z las que están diseñadas para multiplicarse, para obtener funciones zeta globales . Éstos involucran diferentes campos finitos (por ejemplo, toda la familia de campos Z / p Z cuando p pasa sobre todos los números primos ). En ese sentido, la variable t se sustituye por p ^−s , donde s es la variable compleja tradicionalmente utilizada en las series de Dirichlet . (Para obtener más información, consulte la función zeta de Hasse-Weil ).

Con ese entendimiento, los productos de Z en los dos casos usados ​​como ejemplos salen como y .${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)}$

Hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos

Para las curvas proyectivas C sobre F que no son singulares , se puede demostrar que

${\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\ ,}$

con P ( t ) un polinomio, de grado 2 g , donde g es el género de C . Reescritura

${\displaystyle P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,}$

la hipótesis de Riemann para curvas sobre estados de campos finitos

${\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}\ .}$

Por ejemplo, para el caso de la curva elíptica hay dos raíces, y es fácil mostrar que los valores absolutos de las raíces son q ^1/2 . El teorema de Hasse es que tienen el mismo valor absoluto; y esto tiene consecuencias inmediatas para el número de puntos.

André Weil demostró esto para el caso general, alrededor de 1940 ( nota de Comptes Rendus , abril de 1940): pasó mucho tiempo en los años posteriores a eso escribiendo la geometría algebraica involucrada. Esto lo llevó a las conjeturas generales de Weil . Alexander Grothendieck desarrolló la teoría de esquemas con el propósito de resolverlos. Una generación más tarde, Pierre Deligne completó la prueba. (Ver étale cohomology para las fórmulas básicas de la teoría general).

Fórmulas generales para la función zeta

Es una consecuencia de la fórmula de trazas de Lefschetz para el morfismo de Frobenius que

${\displaystyle Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.}$

Aquí es un esquema separado de tipo finito sobre el campo finito F con elementos, y Frob _q es el Frobenius geométrico que actúa sobre cohomology étale -adic con soportes compactos de , la elevación de la clausura algebraica del campo F . Esto muestra que la función zeta es una función racional de .${\displaystyle X}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$

Una fórmula de producto infinito para es${\displaystyle Z(X,t)}$

${\displaystyle Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.}$

Aquí, el producto varía sobre todos los puntos cerrados x de X y deg ( x ) es el grado de x . La función zeta local Z (X, t) se considera una función de la variable compleja s mediante el cambio de las variables q ^−s .

En el caso donde X es la variedad V se discutió anteriormente, los puntos cerrados son las clases de equivalencia x = [P] de puntos P en , donde dos puntos son equivalentes si son conjugados más de F . El grado de x es el grado de la extensión campo de F generada por las coordenadas de P . La derivada logarítmica del producto infinito Z (X, t) se ve fácilmente como la función generadora discutida anteriormente, a saber${\displaystyle {\overline {V}}}$

${\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

Ver también

• Lista de funciones zeta
• Conjeturas de Weil
• Curva elíptica

Referencias

1. Daniel Bump , Geometría algebraica (1998), p. 195.
2. Barry Mazur , Valores propios de Frobenius , p. 244 en Algebraic Geometry, Arcata 1974: Proceedings American Mathematical Society (1974).
3. Robin Hartshorne , Geometría algebraica , p. 449 Springer 1977 APÉNDICE C "Las conjeturas de Weil"