Polinomios de Mott

En matemáticas, los polinomios de Mott s _n ( x ) son polinomios introducidos por NF Mott  ( 1932 , p. 442) quien los aplicó a un problema en la teoría de los electrones. Están dadas por la función generadora exponencial

${\displaystyle e^{x({\sqrt {1-t^{2}}}-1)/t}=\sum _{n}s_{n}(x)t^{n}/n!.}$

Porque el factor en la exponencial tiene la serie de potencias

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {1-t^{2}}}-1}{t}}=-\sum _{k\geq 0}C_{k}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}}$

en términos de números catalanes , el coeficiente delante del polinomio se puede escribir como${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle x^{k}}$

${\displaystyle [x^{k}]s_{n}(x)=(-1)^{k}{\frac {n!}{k!2^{n}}}\sum _{n=l_{1}+l_{2}+\cdots l_{k}}C_{(l_{1}-1)/2}C_{(l_{2}-1)/2}\cdots C_{(l_{k}-1)/2}}$,

de acuerdo con la fórmula general para polinomios de Appell generalizados , donde la suma es sobre todas las composiciones de en números enteros impares positivos. El producto vacío que aparece para es igual a 1. Los valores especiales, donde todos los números catalanes que contribuyen son igual a 1, son${\displaystyle n=l_{1}+l_{2}+\cdots l_{k}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=n=0}$

${\displaystyle [x^{n}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}.}$

${\displaystyle [x^{n-2}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}n(n-1)(n-2)}{2^{n}}}.}$

Por diferenciación, la recurrencia de la primera derivada se convierte en

${\displaystyle s'(x)=-\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {n!}{(n-1-2k)!2^{2k+1}}}C_{k}s_{n-1-2k}(x).}$

Los primeros son (secuencia A137378 en la OEIS )

${\displaystyle s_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle s_{1}(x)=-{\frac {1}{2}}x;}$

${\displaystyle s_{2}(x)={\frac {1}{4}}x^{2};}$

${\displaystyle s_{3}(x)=-{\frac {3}{4}}x-{\frac {1}{8}}x^{3};}$

${\displaystyle s_{4}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{4};}$

${\displaystyle s_{5}(x)=-{\frac {15}{2}}x-{\frac {15}{8}}x^{3}-{\frac {1}{32}}x^{5};}$

${\displaystyle s_{6}(x)={\frac {225}{8}}x^{2}+{\frac {15}{8}}x^{4}+{\frac {1}{64}}x^{6};}$

Los polinomios s _n ( x ) forman la secuencia de Sheffer asociada para –2 t / (1 – t ² ) ( Roman 1984 , p.130). Arthur Erdélyi, Wilhelm Magnus y Fritz Oberhettinger et al. ( 1955 , p. 251) dan una expresión explícita para ellos en términos de la función hipergeométrica generalizada ₃ F ₀ :

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}})}$

Referencias

• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Funciones trascendentales superiores. Vol. III , McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York-Toronto-Londres, MR  0066496
• Mott, NF (1932), "La polarización de los electrones por doble dispersión", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico , 135 (827): 429–458, doi : 10.1098 / rspa.1932.0044 , ISSN  0950-1207 , JSTOR  95868
• Roman, Steven (1984), El cálculo umbral , Matemáticas puras y aplicadas, 111 , Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-594380-2, MR  0741185 , reimpreso por Dover, 2005