En matemáticas , una secuencia polinomial tiene una representación de Appell generalizada si la función generadora de los polinomios toma una forma determinada:
donde la función generadora o kernel se compone de la serie
- con
y
- y todo
y
- con
Dado lo anterior, no es difícil demostrar que es un polinomio de grado .
Los polinomios de Boas-Buck son una clase de polinomios un poco más general.
Casos especiales
- La elección de da la clase de polinomios de Brenke .
- La elección de da como resultado la secuencia de polinomios de Sheffer , que incluye los polinomios en diferencias generales , como los polinomios de Newton .
- La elección combinada de y da la secuencia de polinomios de Appell .
Representación explícita
Los polinomios de Appell generalizados tienen la representación explícita
La constante es
donde esta suma se extiende a todas las composiciones de dentro partes; es decir, la suma se extiende a todos tal que
Para los polinomios de Appell, esta se convierte en la fórmula
Relación de recursividad
De manera equivalente, una condición necesaria y suficiente para que el núcleo Se puede escribir como con es eso
dónde y tener la serie de poder
y
Sustituyendo
da inmediatamente la relación de recursividad
Para el caso especial de los polinomios de Brenke, uno tiene y así todos los , simplificando significativamente la relación de recursividad.
Ver también
Referencias
- Ralph P. Boas, Jr. y R. Creighton Buck, Expansiones polinómicas de funciones analíticas (segunda impresión corregida) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlín. Tarjeta de la Biblioteca del Congreso número 63-23263.
- Brenke, William C. (1945). "Sobre la generación de funciones de sistemas polinomiales". American Mathematical Monthly . 52 (6): 297-301. doi : 10.2307 / 2305289 .
- Huff, WN (1947). "El tipo de polinomios generados por f (xt) φ (t)". Diario de matemáticas de Duke . 14 (4): 1091-1104. doi : 10.1215 / S0012-7094-47-01483-X .