En la teoría de la decisión , se utiliza una función de utilidad de atributos múltiples para representar las preferencias de un agente sobre paquetes de bienes, ya sea en condiciones de certeza sobre los resultados de cualquier elección potencial o en condiciones de incertidumbre.
Preliminares
Una persona tiene que decidir entre dos o más opciones. La decisión se basa en los atributos de las opciones.
El caso más simple es cuando solo hay un atributo, por ejemplo: dinero. Por lo general, se asume que todas las personas prefieren más dinero a menos dinero; de ahí que el problema en este caso sea trivial: seleccione la opción que le dé más dinero.
En realidad, hay dos o más atributos. Por ejemplo, una persona tiene que seleccionar entre dos opciones de empleo: la opción A le da $ 12K por mes y 20 días de vacaciones, mientras que la opción B le da $ 15K por mes y solo 10 días de vacaciones. La persona tiene que decidir entre (12K, 20) y (15K, 10). Diferentes personas pueden tener diferentes preferencias. En determinadas condiciones, las preferencias de una persona se pueden representar mediante una función numérica. La utilidad ordinal del artículo describe algunas propiedades de dichas funciones y algunas formas de calcularlas.
Otra consideración que podría complicar el problema de la decisión es la incertidumbre . Aunque hay al menos cuatro fuentes de incertidumbre: los resultados de los atributos y la falta de claridad del decisor sobre: a) las formas específicas de las funciones de utilidad de los atributos individuales, b) los valores de las constantes agregadas yc) si las funciones de utilidad de los atributos son aditivas , estos términos se abordan en la actualidad; la incertidumbre de ahora en adelante significa solo aleatoriedad en los niveles de atributos. Esta complicación de la incertidumbre existe incluso cuando hay un solo atributo, por ejemplo: dinero. Por ejemplo, la opción A podría ser una lotería con un 50% de posibilidades de ganar $ 2, mientras que la opción B es ganar $ 1 con seguridad. La persona tiene que decidir entre la lotería <2: 0.5> y la lotería <1: 1>. Nuevamente, diferentes personas pueden tener diferentes preferencias. Nuevamente, bajo ciertas condiciones, las preferencias se pueden representar mediante una función numérica. Estas funciones se denominan funciones de utilidad cardinales . El artículo Teorema de la utilidad de Von Neumann-Morgenstern describe algunas formas de calcularlos.
La situación más general es que hay tanto múltiples atributos y la incertidumbre. Por ejemplo, la opción A puede ser una lotería con un 50% de posibilidades de ganar dos manzanas y dos plátanos, mientras que la opción B es ganar dos plátanos con seguridad. La decisión está entre <(2,2) :( 0.5,0.5)> y <(2,0) :( 1,0)>. Las preferencias aquí se pueden representar mediante funciones de utilidad cardinales que toman varias variables (los atributos). [1] : 26–27 Estas funciones son el tema central del artículo actual.
El objetivo es calcular una función de utilidad que representa las preferencias de la persona en loterías de paquetes. Es decir, se prefiere la lotería A a la lotería B si y solo si la expectativa de la función es mayor bajo A que bajo B:
Evaluación de una función de utilidad cardinal de múltiples atributos
Si el número de paquetes posibles es finito, u se puede construir directamente como explican von Neumann y Morgenstern (VNM): ordene los paquetes de menos preferido a más preferido, asigne la utilidad 0 al primero y la utilidad 1 al último, y asigne a cada paquete intermedio una utilidad igual a la probabilidad de una lotería equivalente. [1] : 222–223
Si el número de paquetes es infinito, una opción es comenzar ignorando la aleatoriedad y evaluar una función de utilidad ordinalque representa la utilidad de la persona en seguro de paquetes. Es decir, se prefiere un paquete x sobre un paquete y si y solo si la función es mayor para x que para y:
Esta función, en efecto, convierte el problema de múltiples atributos en un problema de un solo atributo: el atributo es . Entonces, VNM se puede usar para construir la función. [1] : 219–220
Tenga en cuenta que u debe ser una transformación monótona positiva de v . Esto significa que hay una función que aumenta monótonamente, tal que:
El problema con este enfoque es que no es fácil evaluar la función r . Al evaluar una función de utilidad cardinal de un solo atributo usando VNM, hacemos preguntas como: "¿Qué probabilidad de ganar $ 2 es equivalente a $ 1?". Entonces, para evaluar la función r , tenemos que hacernos una pregunta como: "¿Qué probabilidad de ganar 2 unidades de valor es equivalente a 1 valor?". La última pregunta es mucho más difícil de responder que la primera, ya que implica "valor", que es una cantidad abstracta.
Una posible solución es calcular n funciones de utilidad cardinales unidimensionales, una para cada atributo. Por ejemplo, suponga que hay dos atributos: manzanas () y plátanos (), ambos oscilan entre 0 y 99. Usando VNM, podemos calcular las siguientes funciones de utilidad unidimensionales:
- - una utilidad cardinal en las manzanas cuando no hay plátanos (el límite sur del dominio);
- - una utilidad cardinal en los plátanos cuando las manzanas están en su máximo (el límite este del dominio).
Usando transformaciones lineales, escale las funciones de manera que tengan el mismo valor en (99,0).
Entonces, por cada paquete , encuentre un paquete equivalente (un paquete con la misma v ) que sea de la forma o de la forma y establezca su utilidad en el mismo número. [1] : 221–222
A menudo, se pueden utilizar ciertas propiedades de independencia entre atributos para facilitar la construcción de una función de utilidad.
Independencia aditiva
La propiedad de independencia más fuerte se llama independencia aditiva . Dos atributos, 1 y 2, se denominan independientes aditivos , si la preferencia entre dos loterías (definidas como distribuciones de probabilidad conjuntas en los dos atributos) depende solo de sus distribuciones de probabilidad marginal (la PD marginal en el atributo 1 y la PD marginal en el atributo 2). ).
Esto significa, por ejemplo, que las siguientes dos loterías son equivalentes:
- : Una lotería de igualdad de oportunidades entre y ;
- : Una lotería de igualdad de oportunidades entre y .
En ambas loterías, la PD marginal en el atributo 1 es del 50% para y 50% para . De manera similar, la PD marginal en el atributo 2 es 50% para y 50% para . Por lo tanto, si un agente tiene utilidades independientes del aditivo, debe ser indiferente entre estas dos loterías. [1] : 229–232
Un resultado fundamental en la teoría de la utilidad es que, dos atributos son aditivos independientes, si y solo si su función de utilidad de dos atributos es aditiva y tiene la forma:
PRUEBA:
Si los atributos son independientes de los aditivos, entonces las loterías y , definidos anteriormente, son equivalentes. Esto significa que su utilidad esperada es la misma, es decir:. Multiplicar por 2 da:
Esto es cierto para cualquier selección de y . Asume ahora que y está arreglado. Establecido arbitrariamente. Escribir: y . La ecuación anterior se convierte en:
Si la función u es aditiva, entonces según las reglas de expectativa, para cada lotería:
Esta expresión depende solo de las distribuciones de probabilidad marginal de en los dos atributos.
Este resultado se generaliza a cualquier número de atributos: sif las preferencias sobre loterías en los atributos 1, ..., n dependen solo de sus distribuciones de probabilidad marginal, entonces la función de utilidad n -attribute es aditiva: [1] : 295
dónde y el están normalizados al rango , y el son constantes de normalización.
Gran parte del trabajo en la teoría de la utilidad aditiva ha sido realizado por Peter C. Fishburn .
Independencia de la utilidad
Una propiedad de independencia ligeramente más débil es la independencia de la utilidad . El atributo 1 es independiente de la utilidad del atributo 2, si las preferencias condicionales de loterías en el atributo 1 dan un valor constante del atributo 2, no dependen de ese valor constante.
Esto significa, por ejemplo, que la preferencia entre una lotería y una loteria es el mismo, independientemente del valor de .
Tenga en cuenta que la independencia de la utilidad (en contraste con la independencia aditiva) no es simétrica: es posible que el atributo 1 sea independiente de la utilidad del atributo 2 y no viceversa. [1] : 224–229
Si el atributo 1 es independiente de la utilidad del atributo 2, entonces la función de utilidad para cada valor del atributo 2 es una transformación lineal de la función de utilidad para todos los demás valores del atributo 2. Por lo tanto, se puede escribir como:
Cuándo es un valor constante para el atributo 2. De manera similar, si el atributo 2 es independiente de la utilidad del atributo 1:
Si los atributos son mutuamente independientes de la utilidad , entonces la función de utilidad u tiene la siguiente forma multilineal : [1] : 233–235
Dónde es una constante que puede ser positiva, negativa o 0.
- Cuándo , la función u es aditiva y los atributos son independientes de la suma.
- Cuándo , la función de utilidad es multiplicativa, ya que se puede escribir como:
- donde cada término es una transformación lineal de una función de utilidad.
Estos resultados se pueden generalizar a cualquier número de atributos. Dados los atributos 1, ..., n , si cualquier subconjunto de los atributos es independiente de la utilidad de su complemento, entonces la función de utilidad n- atributo es multilineal y tiene una de las siguientes formas:
dónde:
- La y el están normalizados al rango ;
- La son constantes en ;
- es una constante que está en o en (tenga en cuenta que el límite cuando es la forma aditiva).
Comparación de conceptos de independencia
Es útil comparar tres conceptos diferentes relacionados con la independencia de atributos: Independencia aditiva (AI), Independencia de utilidad (UI) e Independencia de preferencia (PI). [1] : 344
Tanto la IA como la interfaz de usuario se refieren a preferencias en loterías y se explican anteriormente. PI se refiere a las preferencias sobre resultados seguros y se explica en el artículo sobre la utilidad ordinal .
Su orden de implicación es el siguiente:
- AI ⇒ UI ⇒ PI
AI es una relación simétrica (si el atributo 1 es AI del atributo 2, entonces el atributo 2 es AI del atributo 1), mientras que UI y PI no lo son.
La IA implica una interfaz de usuario mutua. Lo contrario, en general, no es cierto; es verdad solo sien la fórmula multilineal para los atributos de la interfaz de usuario. Pero si, además de la interfaz de usuario mutua, existen por lo que las dos loterías y , definidos anteriormente, son equivalentes - entonces debe ser 0, y esto significa que la relación de preferencia debe ser AI. [1] : 238–239
UI implica PI. Lo contrario, en general, no es cierto. Pero si:
- hay al menos 3 atributos esenciales y:
- todos los pares de atributos {1, i } son PI de su complemento y:
- el atributo 1 es UI de su complemento,
entonces todos los atributos son mutuamente UI. Además, en ese caso existe una relación simple entre la función de utilidad cardinal que representa las preferencias en loterías y la función de utilidad ordinal representando las preferencias en ciertos paquetes. La funcióndebe tener uno de los siguientes formularios: [1] : 330–332 [2]
- Aditivo:
- Multiplicativo:
dónde .
PRUEBA: Es suficiente probar que u tiene una aversión absoluta al riesgo constante con respecto al valor v .
- La suposición de PI con implica que la función de valor es aditiva, es decir:
- Dejar ser dos valores diferentes para el atributo 1. Sea ser el equivalente de certeza de la lotería . La suposición de IU implica que, para cada combinación de valores de los otros atributos, se cumple la siguiente equivalencia:
- Las dos declaraciones anteriores implican que para cada w , se cumple la siguiente equivalencia en el espacio de valores:
- Esto implica que, sumando cualquier cantidad a ambos lados de una lotería (a través del término ), aumenta el equivalente de certeza de la lotería en la misma cantidad.
- Este último hecho implica una constante aversión al riesgo.