En economía , una función de utilidad ordinal es una función que representa las preferencias de un agente en una escala ordinal . La teoría de la utilidad ordinal afirma que solo tiene sentido preguntar qué opción es mejor que la otra, pero no tiene sentido preguntar cuánto mejor es o qué tan buena es. Toda la teoría de la toma de decisiones del consumidor en condiciones de certeza puede expresarse, y por lo general se expresa, en términos de utilidad ordinal.
Por ejemplo, supongamos que George nos dice que "prefiero A a B y B a C". Las preferencias de George se pueden representar mediante una función u tal que:
Pero los críticos de la utilidad cardinal afirman que el único mensaje significativo de esta función es el orden; los números reales no tienen sentido. Por lo tanto, las preferencias de George también se pueden representar mediante la siguiente función v :
Las funciones u y v son equivalentes ordinalmente - que representan las preferencias de George igual de bien.
La utilidad ordinal contrasta con la teoría de la utilidad cardinal : esta última asume que las diferencias entre preferencias también son importantes. En u, la diferencia entre A y B es mucho menor que entre B y C, mientras que en v ocurre lo contrario. Por lo tanto, U y V son no es cardinal equivalente.
El concepto de utilidad ordinal fue introducido por primera vez por Pareto en 1906. [1]
Notación
Suponga que el conjunto de todos los estados del mundo es y un agente tiene una relación de preferencia en . Es común marcar la relación de preferencia débil por, así que eso dice "el agente quiere B al menos tanto como A".
El símbolo se usa como una abreviatura de la relación de indiferencia: , que dice "El agente es indiferente entre B y A".
El símbolo se utiliza como una abreviatura de la fuerte relación de preferencia: , que dice "El agente prefiere estrictamente B a A".
Una función se dice que representa la relación Si:
Conceptos relacionados
Mapeos de curvas de indiferencia
En lugar de definir una función numérica, la relación de preferencia de un agente se puede representar gráficamente mediante curvas de indiferencia. Esto es especialmente útil cuando hay dos tipos de bienes, X e Y . Entonces, cada curva de indiferencia muestra un conjunto de puntos tal que, si y están en la misma curva, entonces .
A continuación se muestra un ejemplo de curva de indiferencia:
Cada curva de indiferencia es un conjunto de puntos, cada uno de los cuales representa una combinación de cantidades de dos bienes o servicios, con todas las cuales el consumidor está igualmente satisfecho. Cuanto más alejada está una curva del origen, mayor es el nivel de utilidad.
La pendiente de la curva (el negativo de la tasa marginal de sustitución de X por Y) en cualquier punto muestra la tasa a la que el individuo está dispuesto a intercambiar el bien X por el bien Y manteniendo el mismo nivel de utilidad. La curva es convexa al origen, como se muestra, asumiendo que el consumidor tiene una tasa marginal de sustitución decreciente. Se puede demostrar que el análisis del consumidor con curvas de indiferencia (un enfoque ordinal) da los mismos resultados que el basado en la teoría de la utilidad cardinal , es decir, los consumidores consumirán en el punto donde la tasa marginal de sustitución entre dos bienes es igual a la razón del precios de esos bienes (el principio equi-marginal).
Preferencia revelada
La teoría de la preferencia revelada aborda el problema de cómo observar las relaciones de preferencia ordinal en el mundo real. El desafío de la teoría de la preferencia revelada radica en parte en determinar qué paquetes de bienes se renunciaron, sobre la base de que eran menos agradables, cuando se observa que los individuos eligen paquetes particulares de bienes. [2] [3]
Condiciones necesarias para la existencia de la función de utilidad ordinal
Algunas condiciones en son necesarios para garantizar la existencia de una función representativa:
- Transitividad : si y luego .
- Integridad: para todos los paquetes : ya sea o o ambos.
- La integridad también implica reflexividad: para cada : .
Cuando se cumplen estas condiciones y el conjunto es finito, es fácil crear una función que representa simplemente asignando un número apropiado a cada elemento de , como se ejemplifica en el párrafo inicial. Lo mismo ocurre cuando X es numerablemente infinito . Además, es posible construir inductivamente una función de utilidad representativa cuyos valores están en el rango. [4]
Cuándo es infinito, estas condiciones son insuficientes. Por ejemplo, las preferencias lexicográficas son transitivas y completas, pero no pueden ser representadas por ninguna función de utilidad. [4] La condición adicional requerida es la continuidad .
Continuidad
Una relación de preferencia se llama continua si, siempre que se prefiera B a A, pequeñas desviaciones de B o A no invierten el orden entre ellos. Formalmente, una relación de preferencia en un conjunto X se llama continua si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:
- Para cada , el conjunto está topológicamente cerrado encon la topología del producto (esta definición requiereser un espacio topológico ).
- Para cada secuencia , si por todo yo y y , luego .
- Para cada tal que , existe una bola alrededor y una pelota alrededor tal que, por cada en la pelota alrededor y cada en la pelota alrededor , (esta definición requiere ser un espacio métrico ).
Si una relación de preferencia está representada por una función de utilidad continua, entonces es claramente continua. Según los teoremas de Debreu (1954) , lo contrario también es cierto:
- Toda relación de preferencia completa continua se puede representar mediante una función de utilidad ordinal continua.
Tenga en cuenta que las preferencias lexicográficas no son continuas. Por ejemplo,, pero en cada bola alrededor (5,1) hay puntos con y estos puntos son inferiores a . Esto está de acuerdo con el hecho, antes mencionado, de que estas preferencias no pueden ser representadas por una función de utilidad.
Unicidad
Para cada función de utilidad v , existe una relación de preferencia única representada por v . Sin embargo, lo contrario no es cierto: una relación de preferencia puede estar representada por muchas funciones de utilidad diferentes. Las mismas preferencias podrían expresarse como cualquier función de utilidad que sea una transformación monótonamente creciente de v . Por ejemplo, si
dónde es cualquier función monótona creciente, entonces las funciones v y v dan lugar a idénticas asignaciones de curva de indiferencia.
Esta equivalencia se describe sucintamente de la siguiente manera:
- Una función de utilidad ordinal es única hasta aumentar la transformación monótona .
Por el contrario, una función de utilidad cardinal es única hasta el aumento de la transformación afín . Cada transformación afín es monótona; por tanto, si dos funciones son cardinalmente equivalentes, también son ordinalmente equivalentes, pero no al revés.
Monotonicidad
Supongamos, a partir de ahora, que el conjunto es el conjunto de todos los vectores bidimensionales reales no negativos. Entonces un elemento de es un par que representa las cantidades consumidas de dos productos, por ejemplo, manzanas y plátanos.
Entonces, bajo ciertas circunstancias, una relación de preferencia está representado por una función de utilidad .
Supongamos que la relación de preferencia aumenta monótonamente , lo que significa que "más es siempre mejor":
Entonces, ambas derivadas parciales, si existen, de v son positivas. En breve:
- Si una función de utilidad representa una relación de preferencia que aumenta monótonamente, entonces la función de utilidad aumenta monótonamente.
Tasa marginal de sustitución
Supongamos que una persona tiene un paquete y afirma que es indiferente entre este paquete y el paquete . Esto significa que está dispuesto a dar unidades de x para obtener unidades de y. Si esta relación se mantiene como, Nosotros decimos eso es la tasa marginal de sustitución (MRS) entre x y y en el punto. [5] : 82
Esta definición de la MRS se basa únicamente en la relación de preferencia ordinal, no depende de una función de utilidad numérica. Si la relación de preferencia está representada por una función de utilidad y la función es diferenciable, entonces la MRS se puede calcular a partir de las derivadas de esa función:
Por ejemplo, si la relación de preferencia está representada por luego . El MRS es el mismo para la función. Esto no es una coincidencia ya que estas dos funciones representan la misma relación de preferencia: cada una es una transformación monótona creciente de la otra.
En general, la MRS puede ser diferente en diferentes puntos. . Por ejemplo, es posible que enla MRS es baja porque la persona tiene una gran cantidad de x y solo una y , pero en o la MRS es más alta. Algunos casos especiales se describen a continuación.
Linealidad
Cuando la MRS de una determinada relación de preferencia no depende del paquete, es decir, la MRS es la misma para todos , las curvas de indiferencia son lineales y de la forma:
y la relación de preferencia se puede representar mediante una función lineal:
(Por supuesto, la misma relación se puede representar mediante muchas otras funciones no lineales, como o , pero la función lineal es la más simple.) [5] : 85
Cuasilinealidad
Cuando la MRS depende de pero no en , la relación de preferencia se puede representar mediante una función de utilidad cuasilineal , de la forma
dónde es una cierta función que aumenta monótonamente. Porque la MRS es una función, una función posible se puede calcular como una integral de : [6] [5] : 87
En este caso, todas las curvas de indiferencia son paralelas, son transferencias horizontales entre sí.
Aditividad con dos bienes
Un tipo más general de función de utilidad es una función aditiva :
Hay varias formas de comprobar si las preferencias dadas se pueden representar mediante una función de utilidad aditiva.
Propiedad de cancelación doble
Si las preferencias son aditivas, un simple cálculo aritmético muestra que
- y
- implica
por lo que esta propiedad de "doble cancelación" es una condición necesaria para la aditividad.
Debreu (1960) demostró que esta propiedad también es suficiente: es decir, si una relación de preferencia satisface la propiedad de cancelación doble, entonces puede representarse mediante una función de utilidad aditiva. [7]
Propiedad de compensaciones correspondiente
Si las preferencias están representadas por una función aditiva, entonces un simple cálculo aritmético muestra que
por lo que esta propiedad de "compensaciones correspondientes" es una condición necesaria para la aditividad. Esta condición también es suficiente. [8] [5] : 91
Aditividad con tres o más bienes
Cuando hay tres o más productos, la condición para la aditividad de la función de utilidad es sorprendentemente más simple que para dos productos. Este es un resultado del Teorema 3 de Debreu (1960) . La condición requerida para la aditividad es la independencia preferencial . [5] : 104
Se dice que un subconjunto A de productos es preferentemente independiente de un subconjunto B de productos, si la relación de preferencia en el subconjunto A, dados los valores constantes para el subconjunto B, es independiente de estos valores constantes. Por ejemplo, suponga que hay tres bienes: x y y z . El subconjunto { x , y } es preferentemente independiente del subconjunto { z }, si para todos:
- .
En este caso, simplemente podemos decir que:
- para z constante .
La independencia preferencial tiene sentido en el caso de bienes independientes . Por ejemplo, las preferencias entre paquetes de manzanas y plátanos probablemente sean independientes del número de zapatos y calcetines que tenga un agente, y viceversa.
Según el teorema de Debreu, si todos los subconjuntos de mercancías son preferentemente independientes de sus complementos, entonces la relación de preferencia puede representarse mediante una función de valor aditivo. Aquí proporcionamos una explicación intuitiva de este resultado mostrando cómo se puede construir dicha función de valor aditivo. [5] La demostración asume tres mercancías: x , y , z . Mostramos cómo definir tres puntos para cada una de las tres funciones de valor: el punto 0, el punto 1 y el punto 2. Se pueden calcular otros puntos de manera similar, y luego se puede usar la continuidad para concluir que las funciones están bien definidas en todo su rango.
0 punto : elige arbitrario y asignarlos como el cero de la función de valor, es decir:
1 punto : elige arbitrario tal que . Configúrelo como la unidad de valor, es decir:
Escoger y tal que se mantengan las siguientes relaciones de indiferencia:
- .
Esta indiferencia sirve para escalar las unidades de y y z para que coincida con los de x . El valor en estos tres puntos debe ser 1, por lo que asignamos
2 punto : ahora usamos el supuesto de independencia preferencial. La relación entre y es independiente de z , y de manera similar la relación entre y es independiente de xy la relación entre y es independiente de y . Por eso
Esto es útil porque significa que la función v puede tener el mismo valor - 2 - en estos tres puntos. Seleccione tal que
y asignar
Punto 3 : Para demostrar que nuestras asignaciones hasta ahora son consistentes, debemos demostrar que todos los puntos que reciben un valor total de 3 son puntos de indiferencia. Aquí, nuevamente, se utiliza el supuesto de independencia preferencial, ya que la relación entre y es independiente de z (y de manera similar para los otros pares); por eso
y de manera similar para los otros pares. Por tanto, el punto 3 se define de forma coherente.
Podemos continuar así por inducción y definir las funciones por mercancía en todos los puntos enteros, luego usar la continuidad para definirla en todos los puntos reales.
Una suposición implícita en el punto 1 de la prueba anterior es que los tres productos son esenciales o relevantes para las preferencias . [7] : 7 Esto significa que existe un paquete tal que, si se aumenta la cantidad de un determinado producto, el nuevo paquete es estrictamente mejor.
La prueba de más de 3 productos es similar. De hecho, no tenemos que comprobar que todos los subconjuntos de puntos sean preferentemente independientes; basta con comprobar un número lineal de pares de mercancías. Por ejemplo, si hay diferentes productos básicos, , entonces es suficiente comprobar que para todos , las dos materias primas son preferentemente independientes del otro productos básicos. [5] : 115
Singularidad de la representación aditiva
Una relación de preferencia aditiva se puede representar mediante muchas funciones de utilidad aditiva diferentes. Sin embargo, todas estas funciones son similares: no solo son transformaciones monótonas crecientes entre sí ( como lo son todas las funciones de utilidad que representan la misma relación ); están aumentando las transformaciones lineales entre sí. [7] : 9 En resumen,
- Una función de utilidad ordinal aditiva es única hasta aumentar la transformación lineal .
Construir funciones de utilidad cuadráticas y aditivas a partir de datos ordinales
Los fundamentos matemáticos de los tipos más comunes de funciones de utilidad - cuadráticas y aditivas - establecidos por Gérard Debreu [9] [10] permitieron a Andranik Tangian desarrollar métodos para su construcción a partir de datos puramente ordinales. En particular, las funciones de utilidad aditiva y cuadrática en Las variables se pueden construir a partir de entrevistas a los tomadores de decisiones, donde las preguntas tienen como objetivo rastrear totalmente Curvas de indiferencia 2D en coordinar planos sin hacer referencia a estimaciones de utilidad cardinal. [11] [12]
Comparación entre funciones de utilidad ordinales y cardinales
La siguiente tabla compara los dos tipos de funciones de utilidad comunes en economía:
Nivel de medida | Representa preferencias en | Único hasta | Existencia probada por | Usado principalmente en | |
---|---|---|---|---|---|
Utilidad ordinal | Escala ordinal | Resultados seguros | Aumento de la transformación monótona | Debreu (1954) | Teoría del consumidor bajo certeza |
Utilidad cardinal | Escala de intervalo | Resultados aleatorios (loterías) | Aumento de la transformación lineal monótona | Von Neumann-Morgenstern (1947) | Teoría de juegos , elección en condiciones de incertidumbre |
Ver también
- Preferencia (economía)
- Utilidad de atributos múltiples
- Teoría del consumidor
- Utilidad marginal
- Teoría de la celosía
- Preferencias convexas
Referencias
- ^ Pareto, Vilfredo (1906). "Manuale di economia politica, con una introduzione alla scienza sociale". Societa Editrice Libraria .
- ^ Chiaki Hara (6 de junio de 1998). "Teoría de la preferencia revelada" . Séptima reunión de Toiro-kai (1997/1998) .
- ^ Botond Koszegi; Matthew Rabin (mayo de 2007). "Errores en el análisis del bienestar basado en la elección" (PDF) . American Economic Review: artículos y actas . 97 (2): 477–481. CiteSeerX 10.1.1.368.381 . doi : 10.1257 / aer.97.2.477 . Archivado desde el original (PDF) el 15 de octubre de 2008.
- ↑ a b Ariel Rubinstein, Lecture Notes in Microeconomic Theory, Lecture 2 - Utility
- ^ a b c d e f g Keeney, Ralph L .; Raiffa, Howard (1993). Decisiones con múltiples objetivos . ISBN 978-0-521-44185-8.
- ^ Peter Mark Pruzan y JT Ross Jackson (1963). "Sobre el desarrollo de espacios de servicios públicos para sistemas multiobjetivos" . Ledelse og Erhvervsøkonomi / Handelsvidenskabeligt Tidsskrift / Erhvervsøkonomisk Tidsskrift .
- ^ a b c Bergstrom, Ted. "Notas de la conferencia sobre preferencias separables" (PDF) . UCSB Econ . Consultado el 18 de agosto de 2015 .
- ^ Luce, R. Duncan; Tukey, John W. (1964). "Medición conjunta simultánea: un nuevo tipo de medición fundamental". Revista de Psicología Matemática . 1 : 1–27. CiteSeerX 10.1.1.334.5018 . doi : 10.1016 / 0022-2496 (64) 90015-x .
- ^ Debreu, Gérard (1952). "Formas cuadráticas definidas y semidefinidas". Econometrica . 20 (2): 295–300. doi : 10.2307 / 1907852 .
- ^ Debreu, Gérard (1960). "Métodos topológicos en la teoría de la utilidad cardinal". En Arrow, Kenneth (ed.). Métodos matemáticos en las ciencias sociales, 1959 . Stanford: Prensa de la Universidad de Stanford. págs. 16-26. doi : 10.1017 / CCOL052123736X.010 .
- ^ Tangian, Andranik (2002). "Construcción de una función objetivo cuadrática cuasi-cóncava de entrevistar a un tomador de decisiones". Revista europea de investigación operativa . 141 (3): 608–640. doi : 10.1016 / S0377-2217 (01) 00185-0 .
- ^ Tangian, Andranik (2004). "Un modelo para la construcción ordinal de funciones objetivo aditivas". Revista europea de investigación operativa . 159 (2): 476–512. doi : 10.1016 / S0377-2217 (03) 00413-2 .
enlaces externos
- La relación de preferencia lexicográfica no se puede representar mediante una función de utilidad . En Economía.SE
- Reconocimiento de órdenes lineales incrustables en R2 ordenadas lexicográficamente . En Math.SE.
- Murray N. Rothbard , "Towards a Reconstruction of Utility and Welfare Economics"