Sistema multidimensional

Sistema en el que no existe solo una variable independiente

En la teoría de sistemas matemáticos , un sistema multidimensional o sistema mD es un sistema en el que no solo existe una variable independiente (como el tiempo), sino que hay varias variables independientes.

Problemas importantes como la factorización y la estabilidad de los sistemas m -D ( m  > 1) han atraído recientemente el interés de muchos investigadores y profesionales. La razón es que la factorización y la estabilidad no es una extensión directa de la factorización y la estabilidad de los sistemas 1-D porque, por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra no existe en el anillo de polinomios m -D ( m  > 1) .

Aplicaciones

Los sistemas multidimensionales o sistemas m- D son la base matemática necesaria para el procesamiento de imágenes digitales modernas con muchas aplicaciones en biomedicina , tecnología de rayos X y comunicaciones por satélite . ^{[1] [2]} También hay algunos estudios que combinan sistemas m -D con ecuaciones diferenciales parciales (PDE).

Modelo de espacio de estado lineal multidimensional

Un modelo de espacio de estado es una representación de un sistema en el que el efecto de todos los valores de entrada "anteriores" está contenido por un vector de estado. En el caso de un sistema m -d, cada dimensión tiene un vector de estado que contiene el efecto de las entradas anteriores en relación con esa dimensión. La colección de todos estos vectores de estado dimensional en un punto constituye el vector de estado total en el punto.

Considere un sistema uniforme de dos dimensiones (2d) lineal de espacio discreto que es invariante en el espacio y causal. Se puede representar en forma de matriz-vector de la siguiente manera: ^{[3] [4]}

Represente el vector de entrada en cada punto por , el vector de salida por el vector de estado horizontal por y el vector de estado vertical por . Entonces, la operación en cada punto se define por:${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle u(i,j)}$${\displaystyle y(i,j)}$${\displaystyle R(i,j)}$${\displaystyle S(i,j)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R(i+1,j)&=A_{1}R(i,j)+A_{2}S(i,j)+B_{1}u(i,j)\\S(i,j+1)&=A_{3}R(i,j)+A_{4}S(i,j)+B_{2}u(i,j)\\y(i,j)&=C_{1}R(i,j)+C_{2}S(i,j)+Du(i,j)\end{aligned}}}$

donde y son matrices de dimensiones apropiadas.${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}}$${\displaystyle D}$

Estas ecuaciones se pueden escribir de forma más compacta combinando las matrices:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}R(i+1,j)\\S(i,j+1)\\y(i,j)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&B_{1}\\A_{3}&A_{4}&B_{2}\\C_{1}&C_{2}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R(i,j)\\S(i,j)\\u(i,j)\end{bmatrix}}}$

Dados los vectores de entrada en cada punto y los valores del estado inicial, el valor de cada vector de salida se puede calcular realizando de forma recursiva la operación anterior.${\displaystyle u(i,j)}$

Función de transferencia multidimensional

Un sistema bidimensional lineal discreto a menudo se describe mediante una ecuación en diferencias parciales en la forma:${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}y(i-p,j-q)=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}x(i-p,j-q)}$

donde es la entrada y es la salida en el punto y y son coeficientes constantes.${\displaystyle x(i,j)}$${\displaystyle y(i,j)}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle a_{p,q}}$${\displaystyle b_{p,q}}$

Para derivar una función de transferencia para el sistema, la transformación 2d Z se aplica a ambos lados de la ecuación anterior.

${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})}$

La transposición produce la función de transferencia :${\displaystyle T(z_{1},z_{2})}$

${\displaystyle T(z_{1},z_{2})={Y(z_{1},z_{2}) \over X(z_{1},z_{2})}={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}}$

Entonces, dado cualquier patrón de valores de entrada, se calcula la 2d Z- transformada del patrón y luego se multiplica por la función de transferencia para producir la Z- transformación de la salida del sistema.${\displaystyle T(z_{1},z_{2})}$

Realización de una función de transferencia 2d

A menudo, un procesamiento de imágenes u otra tarea computacional md se describe mediante una función de transferencia que tiene ciertas propiedades de filtrado, pero se desea convertirla a la forma de espacio de estado para un cálculo más directo. Tal conversión se conoce como realización de la función de transferencia.

Considere un sistema causal espacialmente invariante lineal 2d que tiene una relación de entrada-salida descrita por:

${\displaystyle Y(z_{1},z_{2})={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}X(z_{1},z_{2})}$

Dos casos se consideran individualmente 1) la suma inferior es simplemente la constante 1 2) la suma superior es simplemente una constante . El caso 1 se denomina a menudo el caso de “todo cero” o de “respuesta de impulso finito”, mientras que el caso 2 se denomina caso de “todos los polos” o de “respuesta de impulso infinito”. La situación general se puede implementar como una cascada de los dos casos individuales. La solución para el caso 1 es considerablemente más simple que el caso 2 y se muestra a continuación.${\displaystyle k}$

Ejemplo: toda respuesta de impulso cero o finita

${\displaystyle Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})}$

Los vectores de espacio de estado tendrán las siguientes dimensiones:

${\displaystyle R(1\times m),\quad S(1\times n),\quad x(1\times 1)}$ y ${\displaystyle y(1\times 1)}$

Cada término en la suma implica una potencia negativa (o cero) de y de la cual corresponde a un retraso (o desplazamiento) a lo largo de la dimensión respectiva de la entrada . Este retraso se puede efectuar colocando 's a lo largo de la superdiagonal en el . y matrices y los coeficientes multiplicadores en las posiciones adecuadas en el . El valor se coloca en la posición superior de la matriz, que multiplicará la entrada y la agregará al primer componente del vector. Además, se coloca un valor de en la matriz que multiplicará la entrada y la agregará a la salida . Las matrices aparecen de la siguiente manera:${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle x(i,j)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{4}}$${\displaystyle b_{i,j}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle b_{0,0}}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle x(i,j)}$${\displaystyle R_{i,j}}$${\displaystyle b_{0,0}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x(i,j)}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{3}={\begin{bmatrix}b_{1,n}&b_{2,n}&b_{3,n}&\cdots &b_{m-1,n}&b_{m,n}\\b_{1,n-1}&b_{2,n-1}&b_{3,n-1}&\cdots &b_{m-1,n-1}&b_{m,n-1}\\b_{1,n-2}&b_{2,n-2}&b_{3,n-2}&\cdots &b_{m-1,n-2}&b_{m,n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\b_{1,2}&b_{2,2}&b_{3,2}&\cdots &b_{m-1,2}&b_{m,2}\\b_{1,1}&b_{2,1}&b_{3,1}&\cdots &b_{m-1,1}&b_{m,1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\vdots \\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B_{2}={\begin{bmatrix}b_{0,n}\\b_{0,n-1}\\b_{0,n-2}\\\vdots \\b_{0,2}\\b_{0,1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}b_{1,0}&b_{2,0}&b_{3,0}&\cdots &b_{m-1,0}&b_{m,0}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle C_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}b_{0,0}\end{bmatrix}}}$

^{[3] [4]}

Referencias

1. Bose, NK, ed. (1985). Teoría de Sistemas Multidimensionales, Progreso, Direcciones y Problemas Abiertos en Sistemas Multidimensionales . Dordre http, Holanda: D. Reidel Publishing Company.
2. Bose, NK, ed. (1979). Sistemas multidimensionales: teoría y aplicaciones . Prensa IEEE.
3. Tzafestas, SG, ed. (1986). Sistemas multidimensionales: técnicas y aplicaciones . Nueva York: Marcel-Dekker.
4. Kaczorek, T. (1985). Sistemas lineales bidimensionales . Lecture Notes Contr. e informar. Ciencias 68 . Springer-Verlag.