Raíz digital multiplicativa

Este artículo necesita citas adicionales para su verificación . Por favor, ayuda a mejorar este artículo mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado. Buscar fuentes:  "Raíz digital multiplicativa"  -  noticias  · periódicos  · libros  · académico  · JSTOR ( octubre de 2019 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

En teoría de números, la raíz digital multiplicativa de un número natural en una base numérica dada se encuentra multiplicando los dígitos de juntos, luego repitiendo esta operación hasta que solo quede un solo dígito, que se llama raíz digital multiplicativa de . ^{[1] Las} raíces digitales multiplicativas son el equivalente multiplicativo de las raíces digitales .${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Definición

Sea un número natural. Definimos el producto de dígitos para base como lo siguiente:${\displaystyle n}$${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

donde es el número de dígitos en el número en base , y${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

es el valor de cada dígito del número. Un número natural es una raíz digital multiplicativa si es un punto fijo para , lo que ocurre si . ${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

Por ejemplo, en base , 0 es la raíz digital multiplicativa de 9876, como ${\displaystyle b=10}$

${\displaystyle F_{10}(9876)=(9)(8)(7)(6)=3024}$

${\displaystyle F_{10}(3024)=(3)(0)(2)(4)=0}$

${\displaystyle F_{10}(0)=0}$

Todos los números naturales son puntos preperiódicos para , independientemente de la base. Esto es porque si , entonces${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle n\geq b}$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$

y por lo tanto

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}=d_{k-1}\prod _{i=0}^{k-2}d_{i}<d_{k-1}b^{k-1}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}$

Si , entonces trivialmente ${\displaystyle n<b}$

${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

Por lo tanto, las únicas raíces digitales multiplicativas posibles son los números naturales , y no hay más ciclos que los puntos fijos de . ${\displaystyle 0\leq n<b}$${\displaystyle 0\leq n<b}$

Persistencia multiplicativa

El número de iteraciones necesarias para alcanzar un punto fijo es la persistencia multiplicativa de . La persistencia multiplicativa es indefinida si nunca alcanza un punto fijo.${\displaystyle i}$${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$${\displaystyle n}$

En base 10 , se conjetura que no hay ningún número con persistencia multiplicativa : se sabe que esto es cierto para los números . ^{[2] [1]} Los números más pequeños con persistencia 0, 1, ... son:${\displaystyle i>11}$${\displaystyle n\leq 10^{20585}}$

0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899. (secuencia A003001 en la OEIS )

La búsqueda de estos números se puede acelerar utilizando propiedades adicionales de los dígitos decimales de estos números récord. Estos dígitos deben ordenarse y, a excepción de los dos primeros dígitos, todos los dígitos deben ser 7, 8 o 9. También existen restricciones adicionales en los dos primeros dígitos. Con base en estas restricciones, el número de candidatos para números de dígitos con una persistencia récord es solo proporcional al cuadrado de , una pequeña fracción de todos los números de dígitos posibles . Sin embargo, cualquier número que falte en la secuencia anterior tendría una persistencia multiplicativa> 11; Se cree que tales números no existen y, si es que existen, deberían tener más de 20.000 dígitos. ^[2]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Extensión a números enteros negativos

La raíz digital multiplicativa se puede extender a los números enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada número entero.

Ejemplo de programación

El siguiente ejemplo implementa el producto de dígitos descrito en la definición anterior para buscar raíces digitales multiplicativas y persistencias multiplicativas en Python .

def  digit_product ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  if  x  ==  0 :  return  0  total  =  1  while  x  >  1 :  if  x  %  b  ==  0 :  return  0  if  x  %  b  >  1 :  total  =  total  *  ( x  %  b )  x  =  x //  b  devuelve el  totaldef  raíz_digital_multiplicativa ( x :  int ,  b  : int )  ->  int :  visto  =  []  mientras que  x  no está  en  visto :  visto . añadir ( x )  x  =  producto_digito ( x ,  b )  devolver  xdef  persistencia_multiplicativa ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  visto  =  []  mientras que  x  no está  en  visto :  visto . append ( x )  x  =  digit_product ( x ,  b )  return  len ( visto )  -  1

Ver también

• Dinámica aritmética
• Suma de dígitos
• Raíz digital
• Número de producto suma

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Persistencia multiplicativa" . MathWorld .
2. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A003001" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.

Literatura

• Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag . págs. 398–399. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001 .

Enlaces externos

• ¿Qué tiene de especial 277777788888899? - Numberphile en YouTube (21 de marzo de 2019)